Homotopy grupos de $\mathbb{RP}^\infty$, $\mathbb{CP}^\infty$.

Question

Podría alguien darme una referencia precisa para el cálculo de todos los homotopy grupos de infinito real proyectiva del espacio infinito y complejo proyectiva del espacio?

Answer 1

Debido a $S^\infty$ es contráctiles, y tenemos los haces de fibras $S^1 \to S^\infty \to \Bbb{CP}^\infty$, el largo de la secuencia exacta de homotopy grupos de un par muestra que su único nonvanishing homotopy grupo es $\pi_2(\Bbb{CP}^\infty) = \Bbb Z$. Ver Hatcher, 4.50. Ejemplo 4.44 es una construcción de este paquete.

$\Bbb{RP}^\infty$ es más elemental: si $\tilde M$ es un cover de $M$, $\pi_i(\tilde M) = \pi_i(M)$ todos los $i>1$. Esto debido a que el contráctiles $S^\infty$ doble cubre $\Bbb{RP}^\infty$, tiene un grupo fundamental de la $\Bbb Z/2$ y no otro distinto de cero homotopy grupos. Ver Hatcher, 1B.3.