$\pi_1$ y $H_1$ de Producto Simétrico de superficies

Question

Dejemos que $X=Sym^d(\Sigma_g)$ sea el producto simétrico del pliegue d de una superficie de género g, $d\ge 2$ .

¿Existe / cuál es una forma (rápida y sencilla) de ver que $\pi_1(X)$ es abeliano?

El enlace en los comentarios (artículo de Ozsvath-Szabo) me da la respuesta, excepto que no sigo la última parte de la prueba:

Esto es lo que yo entiendo:
Desde $\pi_1(X)\to H_1(X)$ es suryente, basta con demostrar que el núcleo es trivial. Una curva $\gamma:S^1\to X$ en posición general (es decir, falta la codimensión-1 diagonal $D\subset X$ compuesto por elementos en $\Sigma^{\times d}$ donde coinciden al menos dos entradas) corresponde a un $d$ -Cubierta plegable $\hat{\gamma}:S^1\to \Sigma$ mediante el retroceso a lo largo de la cubierta ramificada $\Sigma^{\times d}\to X$ . Un homólogo nulo $[\gamma]=0\in H_1(X)$ por lo que se obtiene un homólogo nulo $\hat{\gamma}$ es decir, existe un mapa $j:F\to\Sigma$ (para alguna superficie $F$ con límite) con $j|_{\partial F}=\hat{\gamma}$ .
Ahora, de alguna manera utilizando esta superficie $F$ podemos inducir una homotopía nula de $\gamma\in \pi_1(X)$ . ¿Puede alguien explicar esto?

Answer 1

El grupo fundamental de un producto simétrico d>1 para cualquier complejo simplicial X es isomorfo al primer grupo de homología de X. Este hecho es cierto también para muchos otros "productos de permutación", como los productos cíclicos, por ejemplo (es decir, cocientes por el grupo cíclico). Las pruebas y discusiones completas se encuentran en http://cms.math.ca/10.4153/CJM-2012-028-3 (también disponible en arXiv:1010.1507). El argumento que demuestra que el grupo fundamental es abeliano es bastante simple: cualquier bucle en Symd(X) basado en un elemento diagonal se eleva a un bucle en el producto cartesiano Xd. Para dos elementos dados en el grupo fundamental de Symd(X), se puede elegir que sus elevaciones vivan en diferentes copias de (pi_1X)^d, d>1, y por tanto conmutan allí. Por lo tanto, sus imágenes tendrían que conmutar.

Answer 2

@ Sadok Kallel: El libro Topología y Groupoides tiene el capítulo 11 sobre "Espacios orbitales, groupoides orbitales". El resultado principal es dar las circunstancias bajo las cuales el morfismo de los groupoides fundamentales $\pi_1(X) \to \pi_1(X/G)$ presenta este último como un grupo orbital . En consecuencia, 11.5.4 calcula el grupo fundamental de un cuadrado simétrico.