¿Cuál es la principal diferencia entre lo real analíticos y pruebas de función (suave compacto funciones soportadas). Podemos encontrar un verdadero analítica de la función $f$ $R^n$ que es también suave compacto compatible? Si no necesita la prueba.
Respuestas
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Suponga $f$ es un real-analítica de la función de prueba de que no es idéntica a cero; esto lleva a una contradicción. Deje $K$ denotar el apoyo de $f$. La idea (también presente en la OP del intento) es expandir $f$ a una toma de corriente de la serie centrada en algún punto límite $x_0$ de las ayudas; encuentra que los coeficientes son cero, obtener una contradicción. Pasos clave:
- Un no vacío acotado conjunto debe tener no vacío de frontera (porque la única conjuntos vacíos límite se $\varnothing$$\mathbb R^n$).
- Deje $x_0$ ser un límite de punto de $K$. Tenga en cuenta que $x_0\in K$ $x_0$ también es un punto límite de la dotación de $K$.
- Todos los derivados de $f$ son idénticamente cero en el complemento de $K$
- También son continuas en todos los de $\mathbb R^n$. Por la continuidad son iguales a cero en $x_0$.
- El poder de la serie de $f$ centrada en $x_0$ $0+0(x-x_0)+\dots$
- Por lo tanto, $f$ es igual a cero en un barrio de $x_0$. Pero esto contradice la definición de apoyo de $K$.
muerte
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Si por "función de prueba" te refieres a una función suave con soporte compacto (como opuesto a un Schwarz función), entonces la respuesta es no. Considere la posibilidad de una analítica de la función $f \in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ y un punto de $x$ fuera de su apoyo. Debido a $f$ es analítica, debe ser igual a su propio desarrollo en serie de Taylor desarrolló en $x$, es decir,$0$, y dado que el radio de convergencia es infinito, $f$ debe ser el cero de la función.
El resultado de esto es que las funciones analíticas son muy rígidos objetos. A grandes rasgos, la perturbación de una analítica de la función en un solo punto de las causas de los cambios globales para la "ondulación" fuera de la perturbación en el fin de preservar la analiticidad.
Christopher A. Wong
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Una función de prueba es una superficie lisa y compacta compatible la función, mientras que un verdadero analítica de la función es suave y dado por una potencia de la serie uniformemente convergente en cada punto.
Tal vez sólo voy a dar una sugerencia de como una respuesta a su segunda pregunta: Una función de prueba debe ser igual a cero en todas partes fuera de algunos compacto. Si también se analíticos, entonces ¿qué sería de los coeficientes de su poder de la serie?
Jeroen
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Estoy tratando de demostrar que si una prueba de la función $f$ $\Bbb R^n$ es real analítica, entonces debe ser equivalente a cero la función. Por favor me corrija si no hay ningún problema.
Prueba:
Vamos a definir una función de prueba,
$ f_\epsilon (x)= \begin{cases} \frac{C^{-1}}{\epsilon^n} e^{{\frac{-\epsilon^2}{{\epsilon^2}-|x|^2}}}, &\text{for |x|< %#%#% } \\ 0, & \text{everywhere else} \\ \end{casos} $
$\epsilon$. Usted debe trabajar con un examen general de la función, no de uno en particular. Que es, simplemente diga: vamos a $\color{red}{\text{Edited in: This was a false start}}$ ser una función de prueba. Por definición de una función de prueba, $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ tiene soporte compacto. El objetivo es mostrar que si $f$ es real-analítico, entonces el soporte está vacía.
Sabemos, esta función tiene derivadas de todos los órdenes y también tiene un tamaño compacto.
Ahora, supongamos que también es un verdadero Analítica de la función.
Si esta función es una verdadera analítica, entonces debe haber una expansión en series de Taylor alrededor de cualquier punto de $f$ en su dominio que convergen a $x_0$ para un nbdd. de $f_\epsilon (x)$.
Ahora, en particular, tomar expansión de Taylor acerca de la $x_0$
$\pm\epsilon$
La expansión en series de Taylor, de hecho, converge a la función de $f_\epsilon (x) \approx 0 + 0x + 0x^2 + . . .$.
Podemos ver que $f_\epsilon^˜ (x) = 0$ $f_\epsilon^˜ (x)$ son dos funciones diferentes para |x|< $f_\epsilon (x)$. Pero debe ser igual desde $\epsilon$ es real analítica, la cual sólo es posible cuando la $f_\epsilon (x)$.
- Es suficiente para demostrarlo. Personalmente no creo que su suficiente...
- Si me necesitan para elaborar por escrito su serie de Taylor, a continuación, los cálculos de los derivados es de nuevo un problema para mí. No sé cómo escribir derivados de $f_\epsilon (x) \equiv 0$. Y en la anterior prueba, la forma en que me aproximado de su serie de Taylor en $f_\epsilon (x)$ parece bastante complicado... ¿no? Por favor me den sus sugerencias y siéntase libre de edición de esta prueba.
Gracias mucho.
