Alternativas de la prueba de $\sqrt{2}$ es irracional asistencia.

Question

Tenía la esperanza de obtener una visión más clara de esta específica de la prueba de la irracionalidad de la $\sqrt{2}$. De acuerdo a esta prueba por Alex Healy:

"Considerar el conjunto $W=a+b \sqrt{2}$ , a,b enteros. Claramente $W$ es cerrado bajo la multiplicación y la suma. Definir $\alpha=(\sqrt{2}−1)$, un elemento de $W$. Obviamente, $0 \lt \alpha \lt 1$, por lo que

$$\alpha^k \to 0 \;\;\text{as}\;\; k \to \infty \tag{1}$$

Suponga $\sqrt{2}=p/q$. Desde $W$ es cerrado, $\alpha^k=e+f \sqrt{2} =(eq+fp)/q \ge 1/q$ contradiciendo $(1)$."

Aquí está el enlace a la prueba, el 9 de uno: http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml

Gracias de antemano!!

Answer 1

Consideremos el conjunto a $W=a+b \sqrt{2}$ , a,b enteros. Claramente $W$ es cerrado bajo la multiplicación

$(a+b\sqrt{2})(a'+b'\sqrt{2}) = (aa'+2bb') + (ab+a'b)\sqrt{2}$ donde $aa'+2bb'$ $ab+a'b$ son enteros.

y además.

$(a+b\sqrt{2})+(a'+b'\sqrt{2}) = (a+a') + (b+b')\sqrt{2}$ donde $a+a'$ $b+b'$ son enteros.

Definir $\alpha=(\sqrt{2}−1)$, un elemento de $W$. Obviamente, $0 \lt \alpha \lt 1\,$, por lo que

$$\alpha^k \to 0 \;\;\text{as}\;\; k \to \infty \tag{1}$$

Esto requiere que cualquier $\forall \epsilon \gt 0$ existe $K \in \mathbb{N}$, de modo que $\alpha^k \in [0, \epsilon)\,$ todos los $\forall k \ge K\,$.

Suponga $\sqrt{2}=\cfrac{p}{q}$. Puesto que W es cerrado, $\;α^k=e+f \sqrt{2}= \cfrac{eq+fp}{q} \ge \cfrac{1}{q}\;$ contradiciendo $(1)$.

$eq+fp$ es, obviamente, un número entero. No puede ser $0$ porque eso significaría $\alpha^k=0\,$, lo cual no es posible ya que $\alpha \gt 0\,$. Por lo tanto, $\,eq+fp \gt 0\,$ y, dado que es un número entero, esto es equivalente a $\,eq+fp \ge 1\,$. De ello se desprende que $\cfrac{eq+fp}{q} \ge \cfrac{1}{q}\,$, lo que da $\alpha^k \ge \cfrac{1}{q}\,$.

Pero esto implica que $\alpha^k \not \in [0,\epsilon)$ cualquier $\forall \epsilon \lt \cfrac{1}{q}$$\forall k$, lo que contradice el hecho de que $\alpha^k \to 0\,$.

Answer 2

A continuación es un extracto de mi historia-matematica post, 16 de junio de 2001 (o sci.las matemáticas Puede 19,2003) que presenta este estilo de irracionalidad prueba en una forma elemental que resalta el contraste entre el discreto de un anillo de (algebraica) de los números enteros frente a la densidad de un anillo de fracciones. Véase también la estrecha relación elegante pruebas usando Dedekind la noción de conductor ideal.

Teorema $ $ Si un entero $b$ ha racional de la raíz cuadrada: $\sqrt b = c/d\,$ $c/d$ es un número entero.

Prueba de $ $ Supongamos, como hipótesis de $\,w = \sqrt b = c/d\,$ es racional. $d$ es un denominador común para todos los elementos en el ring $\,R = \Bbb Z[w]\,$ ya que si $\,r = m + nw \in R,\ m,n \in\Bbb Z\,$ $\,dr = dm + n(dw)\in\Bbb Z\,$ $\, dw = c\in\Bbb Z.\,$ $R$ es un subconjunto de a $\,\Bbb Z/d,\,$ es decir, cada $\,r \in R\,$ formulario $\,n/d\,$ para un entero $\,n.\,$ Supongamos $\,r = n/d\,$ es no integral. Vamos a mostrar esto lleva a una contradicción y, por lo tanto, que todos los $\,r \in R = \Bbb Z[w]\,$ debe ser un número entero, incluyendo a $\,w = \sqrt b.$

W. l.o.g asumimos $\,0 < r < 1\,$ tomando la parte fraccionaria de $|r|,\,$ ya que este también se encuentra en $\,R\,$, y no integral iff $r$ es. Desde $r$ formulario $\,n/d\,$ $\,0 < r < 1,\ r$ es un miembro de la conjunto finito $\,\{ 1/d,\, 2/d,\ldots,(d\!-\!1)/d\}.\,$ Si $r$ es el más pequeño elemento de $R$ en este conjunto, a continuación, $r^2$ es aún más de esos elementos, desde $\,1 > r > r^2 > 0,\,$ contradiciendo la minimality de $r.\ \ $ QED

Comentario $ $ Esta prueba funciona para cualquier algebraicas entero, es decir, cualquier raíz de monic polinomio con coeficientes enteros $\,p(x) = x^n + a x^{n-1} + b x^{n-2} + \cdots + k,\,\ a,b,..,k\in \Bbb Z,\,$ por el uso de $\,d^{n-1}$ frente al $d$, como denominador común para $\,\Bbb Z[w].\,$ Esto demuestra que cualquier racionales algebraicas entero es un número entero (en $\Bbb Z).\,$ La prueba anterior es simplemente el caso especial $\,p(x) = x^2 - b.$

La prueba depende de manera crucial el hecho de que $w$ es una expresión algebraica entero, lo que implica que el anillo $\,\Bbb Z[w] = Z\langle 1,w,w^2,\ldots,w^{n-1}\rangle$ es un finito dimensionales $\Bbb Z$-módulo, es decir, $\,w^n, w^{n+1},\ldots$ $\,\Bbb Z$- de las combinaciones lineales de $\,1, w, w^2,\ldots, w^{n-1}.\,$ No necesariamente tiene que ser cierto si $w$ es una raíz de un poli $\,p(x)\,$ cuyo líder coef $c\neq 1$ desde entonces $\,w^n = -c^{-1} (a w^{n-1} + \ldots + k)\,$ de modo que $c$ puede sobresalir como un trivial denominador cuando se utiliza este la ecuación para reescribir $\,w^n, w^{n+1},\ldots$ después de la multiplicación de dos elt.

Esencialmente, la prueba demuestra que si $\,R \supset \Bbb Z\,$ es un anillo de pedida la extensión que colinda con una nueva finito elemento, a continuación, $\,R\,$ es densa, tener una infinita descendente cadenas de $\, 1 > r > r^2 > r^3 > \ldots > 0\,$ en un nbhd de $0$ (por lo tanto en todas partes por un aditivo de turno), donde $\,r > 0\,$ es la parte fraccionaria de cualquier recién adherido a los elementos finitos. Pero $\,\Bbb Z/d\,$ es discreto, no densa, de ahí la contradicción.

Nótese que digo "finito" de arriba porque es posible que se acuestan infinito elt solo, por ejemplo, considerar la posibilidad de $\,\Bbb Z[x]\,$ $x$ infinito, es decir, de polígonos en un nbhd de $+\infty$, ordenados por declarar $\,p(x) > q(x)\,$ fib esto es cierto, finalmente, que todos los grandes $x > 0,$ es decir, en un nbhd de $+\infty.\,$ Este es el mismo como la de declarar $p(x)$ positivo o negativo, es su principal coef (el líder plazo eventualmente eclipsa a los demás como $\,x\to +\infty)\,$ $\,p > q \iff p - q > 0,\,$ como de costumbre. Este ordenó anillo de extensión de $\,\Bbb Z\,$ linda no hay nuevos elementos finitos. Sin embargo, si que, además, se acuestan por la infinitesimal $\,1/x\,$ tenemos $\, 1 > 1/x > 1/x^2 > \ldots > 0,\,$ y añadiendo $c$ cambios de este infinitamente descendente de la cadena para la nbhd de cualquier elt $\,c \in \Bbb Z[x,1/x].$