La existencia de medida cero electrógenos aditiva de los números reales.

Question

Acaba de llegar en torno a la publicación de los pensamientos que tenía acerca de esta pregunta acerca de la estructura aditiva de los números reales. Yo estaba interesado en que los conjuntos de generar $(\mathbb{R},+)$. En primer lugar, es la siguiente argumento correcto? Dado cualquier conjunto $A$ positivas de la medida de Lebesgue, el Steinhaus teorema dice que $A-A$ contiene un abierto barrio de el origen. Según Arturo Magidin la respuesta a la pregunta original, cualquier intervalo genera $\mathbb{R}$. Tomando nota de que $A-A$ está contenida en el subgrupo de $\mathbb{R}$ generado por $A$, podemos ver que $A$, de hecho, genera $\mathbb{R}$.

Segundo, hay conjuntos de medida cero, lo que generará $\mathbb{R}$? Miré a mi alrededor un poco, pero no estoy realmente seguro de qué herramientas utilizar para abordar esta pregunta.

Answer 1

Usted puede simplemente tomar $\{1,-1\}$ y números de [0,1], cuya representación en el sistema decimal contiene sólo ceros y unos. La medida de este conjunto es $$1-\sum\frac{9^n}{10^{n+1}} = 1 - \frac{1}{10}\frac{1}{1-\frac{9}{10}} = 0.$$ To prove that this generates $\mathbb{R}$, let $x$ be the real number from [0,1] to be represented (the integer part is trivial to generate). Set $x_i$ to be the number which has ones on the places where $x$ has digit $i$ and then $x = 1x_1 + 2x_2 + \ldots + 9x_9$.

Edit: de hecho, este es el mismo como martini comentario (mi set es una versión de conjunto de Cantor).