Problemas analíticos con la función de Green

Question

Tengo una pregunta acerca de la correcta definición de la función de Green en la física. ¿Por qué hemos de introducir (o no) un infinitesimal, número positivo $\eta$ a la siguiente definición:

$$\left[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}(\mathbf{r}) \pm i\eta\right]G(\mathbf{r},t;\mathbf{r'},t') = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'})\delta(t-t')$$

Answer 1

Una función de Green es nada, pero el (generalmente de distribución) integrante del núcleo de la inversa de un determinado operador. El punto es que el operador $$A:= \left[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}(\mathbf{r})\right]$$ no se admite un único inverso. Por el contrario, $$A_{\pm\eta}:=\left[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}(\mathbf{r}) \pm i\eta\right]$$ admite un único inverso (para cada opción de la señal) y está dada por un operador cuyo integral del núcleo es $G_{\pm \eta}$. Resulta que $\lim_{\eta \to 0^+}G_{\pm \eta} f$ existen y estos límites seleccione un par de inversa de los operadores (entre la clase de los inversos de los operadores) de $A$, cuyo significado físico es relevante (avanzados y retrasados soluciones).

En la práctica, el cálculo de los límites anteriores pueden realizarse en el plano complejo mediante el residuo de la teoría, después de haber escrito $G_{\pm \eta}$ en términos de la transformada de Fourier de expansión. Dentro de este panorama, la aparición de varios de los inversos de las $A$ es descrito en términos de las diversas formas que rodean a la singularidad en el plano complejo.

Answer 2

Este tipo de problema puede ser tratada mediante el complejo La transformada de Laplace. Para una función de $f(t)$ $t\geqslant 0$ se define como \begin{equation*} \hat{f}(z)=\int_{0}^{\infty }dt\exp [izt]f(t),\;Imz>0. \end{ecuación*} Configuración $z=\omega +i\eta $ ($\eta >0$ pero arbitraria de otro modo), con $\theta (t)$ la función escalón unitario ( $\theta (t)=1$ $t\geqslant 0$ y $0$ lo contrario), \begin{equation*} \hat{f}(\omega +i\eta )=\int_{-\infty }^{+\infty }dt\exp [i\omega t]\theta (t)\exp [-\eta t]f(t). \end{ecuación*} Por lo tanto $\hat{f}(\omega +i\eta )$ es la transformada de Fourier de $\theta (t)\exp [-\eta t]f(t)$ y por lo tanto \begin{eqnarray*} \theta (t)\exp [-\eta t]f(t) &=&\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }d\omega \exp [-i\omega t]\hat{f}(\omega +i\eta ) \\ f(t) &=&\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }d\omega \exp [-i(\omega +i\eta )t]\hat{f}(\omega +i\eta ) \\ &=&\frac{1}{2\pi }\int_{\Gamma }dz\exp [-izt]\hat{f}(z),\;t\geqslant 0, \end{eqnarray*} donde $\Gamma $ es la línea de $(-\infty +i\eta ,+\infty +i\eta )$.

Ahora el problema a la mano. Establecimiento $\hslash =1$ nos ocupamos de la Schr\"{o} dinger ecuación \begin{equation*} \partial _{t}\psi (t)=-iH\psi (t). \end{ecuación*} Puesto que, mediante la integración parcial (nota:$Imz>0)$, \begin{equation*} \int_{0}^{\infty }dt\exp [izt]\partial _{t}\psi (t)=-\psi (0)-iz\hat{\psi} (z), \end{ecuación*} obtenemos, después de algunos reorganización, \begin{eqnarray*} i[z-H]\hat{\psi}(z) &=&\psi (0), \\ \hat{\psi}(z) &=&-i[z-H]^{-1}\psi (0), \\ \psi (t) &=&\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma }dz\exp [-izt][z-H]^{-1}\psi (0)=\exp [-iHt]\psi (0),\;t\geqslant 0 \end{eqnarray*} El objeto de $[z-H]^{-1}$ es conocido como el resolvent de $H$ y que tiene un papel en investigaciones matemáticas. La función de Green es el núcleo correspondiente en representación de coordenadas \begin{equation*} \hat{G}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},z)=\langle \mathbf{x}_{1}|[z-H]^{-1}|% \mathbf{x}_{2}\rangle \end{ecuación*} y \begin{eqnarray*} G(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2}) &=&\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma }dz\exp [-iz(t_{1}-t_{2})]\hat{G}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},z), \\ \psi (\mathbf{x}_{1},t_{1}) &=&\int d\mathbf{x}_{2}dt_{2}G(\mathbf{x}_{1},% \mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2})\psi (\mathbf{x}_{2},t_{2}),\;t_{1}\geqslant t_{2}. \end{eqnarray*} Formalmente $G(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2})$ satisface la ecuación en la pregunta, pero ahora tenemos una descripción precisa acerca de la $z$ - integral.

Answer 3

Sé de análisis complejos y el teorema del residuo. Este tipo de piensa que se introducen para evaluar algunas de las integrales de la forma $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$ con algunas de las funciones que tiene un polo en $0$ y, a continuación, agregar un infinitesimal para evaluar una integral usando el teorema del residuo. Mi pregunta es ¿por qué no puede ir a través de cero (donde el polo es) hacer un pequeño círculo y, a continuación, el valor principal de Cauchy límite ? Hay algunos problemas especiales con propiedades analíticas de los funciones de Green si no me intrduce $\eta$?