Demostrar que $a^2 + b^2 + c^2$ no es un número primo

Question

Estoy teniendo dificultad para resolver este problema:

Vamos $a, b, c \in\mathbb{Z}$, $abc \neq 0$ y $a\neq c$ ser tal que $$\frac{a}{c} = \frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}.$$

Demostrar que $a^2 + b^2 + c^2$ no es un número primo.

Gracias de antemano!

Answer 1

W. l.o.g podemos suponer que la $a,c>0$. La ecuación $$\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}$$ junto con la suposición de $a\neq c$ rápidamente nos da $ac=b^2$ como un corolario. Por lo tanto, tenemos $$a^2+b^2+c^2=a^2+ca+c^2$$ y la condición adicional de que $ac=b^2$ debe ser un cuadrado perfecto.

Hay dos casos principales. Si $gcd(a,c)>1$, luego de que el común divisor también es un divisor de a $a^2+ac+c^2$, por lo que este último número no ser una de las primeras. Si los números de $a$ $c$ son coprime, entonces la ecuación de $ac=b^2$ y único de la factorización de la fuerza tanto en $a$ $c$ a plazas. Así, podemos asumir que el $a=p^2, c=q^2$ para algunos enteros $p,q$. Pero entonces vemos que $$a^2+b^2+c^2=p^4+p^2c^2+q^4=(p^2+q^2)^2-p^2c^2=(p^2+pq+q^2)(p^2-pq+q^2).$$ Aquí $p\neq q$, por lo que estos dos factores son $>1$, y la demanda sigue en este caso, también.

Answer 2

$\rm\ a^2+b^2+c^2 = (a+c)^2-b^2 + 2\: (b^2-ac)\ $ $\rm\:b^2\! = ac\:\Rightarrow\:$ factores (diferencia de cuadrados)

Answer 3

NOTA: La "solución" a continuación se dirigió a la original quesion, que era "Demostrar que $a^2 +b^2 +ab$ no es un número primo", y más tarde fue cambiado a su forma actual. De hecho, es el caso que cada primer congruente a $1$ (mod $3$) tiene la forma $a^2 +b^2 +ab$ para los números enteros $a$$b,$, mientras que ningún primer congruente a $2$ (mod $3$) tiene esta forma. El primero (bien conocido) declaración puede ser probado de una manera bastante similar a la de Euler prueba de que cada primer congruente a $1$ (mod $4$) es la suma de dos enteros plazas. En este caso, sin embargo, se trabaja con el anillo de enteros de Eisenstein, $R = \mathbb{Z}[\omega],$ donde $\omega$ es una primitiva (complejo) raíz cúbica de la unidad. Este es uno de los principales ideales de dominio. Si $p \equiv 1$ (mod $3$) es racional primo, entonces el grupo multiplicativo del campo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ contiene un elemento de orden $3$. Por lo tanto, no es un número entero $n$ tal que $p$ divide $n^{3}- 1,$ pero $p$ no divide $n-1.$ $p$ divide $n^{2}+n+1,$ que factores como $(n- \omega)(n-\omega^{2})$ $R.$ Desde $p$ no dividir cualquiera de los dos factores en $R,$, debemos concluir que los $p$ no es un primo en $R.$ por lo tanto, no son enteros $a,b,c,d$ tal que $p = (a - b \omega)(c- d\omega)$ $R,$ donde ni $a-b\omega$ ni $c-d\omega$ son unidades en $R.$ Luego multiplicando esta expresión por su complejo coinjugate , vemos que $p^2 = (a^2 +ab + b^2)(c^2 +cd +d^2).$ Ahora $a^2 +ab +b^2 \neq 1$ $c^2 +cd +d^2 \neq 1$ $a-b\omega$ $c-d\omega$ no son unidades en $R.$ por lo tanto $a^2 +ab +b^2 = p$ (tenga en cuenta que esto es positivo ablandada). Es un ejercicio fácil que si $q \equiv 2$ (mod $3$), $q$ sigue siendo el primer en $R,$ $q$ ciertamente no puede ser escrita en la forma $a^2 +ab+b^2$ para ratonal enteros $a$ $b.$

Answer 4

si nos encargamos de otra manera, como este $(a*c^2+a*b^2)$=$(c*a^2+c*b^2)$ y, a continuación, concatate términos similares obtenemos $(a*c*(c-a))$=$b^2$*$(c-a)$ o $b^2$=$a*c$ así $a^2$+$b^2$+$c^2$=$a^2$+$c^2$+$a*c$ que ya se sabe que es primordial para algunas variables