Me ayudan a demostrar que el grupo cíclico

Question

Probar que un grupo de orden 5 debe ser cíclico, y cada grupo Abelian de orden 6 también será cíclico.

Sea G el grupo de orden 5.

Para demostrar grupo de orden 5 es cíclico tenemos probarlo por cada elemento de a $(\langle a\rangle =\langle e,a,a^2,a^3,a^4,a^5=e\rangle)\forall a \in G$

Answer 1

Con Lagrange del Teorema, se puede mostrar fácilmente que cualquier grupo de primer orden $p$ debe ser cíclica. I. e., cualquier grupo de primer orden NO tiene ninguna adecuada, no trivial subgrupos, ya que no hay ningún número entero positivo divisor de un primer $p$ otros de $1 \text{ and}\; p$.

Que sería de aplicación a los grupos de orden $5$.

De ello se sigue que cualquier grupo de orden $5$ (y de cualquier grupo de primer orden) debe ser generado por un solo elemento y es, por lo tanto, cíclico.

N. B. en cualquier Momento usted puede demostrar que un grupo es generado por un elemento: es decir, que existe una $g \in G$ tal que $G = \langle g \rangle$, luego de haber probado (de hecho, por definición) que $G$ es cíclico.

Answer 2

Sugerencia para el segundo problema: Vamos a $G$ tienen orden de $6$. Tenemos algún elemento $a$ orden $3$ y algún elemento $b$ orden $2$ del teorema de Cauchy. Mostrar que $e,ab,(ab)^2,(ab)^3,(ab)^4,(ab)^5$ son distintos, por lo $ab$ genera $G$.

Answer 3

Sugerencia: ¿sabía usted que para los grupos finitos, el orden de un subgrupo siempre divide al orden del grupo?