Teorema de Pitágoras expresado sin raíces en un antiguo enunciado tamil (indio)

Question

Hay un antiguo enunciado de Tamil que predice la hipotenusa de un triángulo rectángulo con un nivel razonable de exactitud teniendo en cuenta que no implica raíces. Es así:

"Odum Neelam Thanai Orettu Kooru thaaki Koorilae Ondrai Thalli Kundrathil Paadhiyai Saerthal Varuvathu Karnam Thane"

Esto se traduce en algo como -

"Resta un octavo de la longitud (lado más largo) a la longitud, y añade la mitad de la altura para obtener la hipotenusa". Esto se aproxima bastante bien a la hipotenusa. Parece un tema interesante para profundizar.

Hypotenuse = 7/8* base + height/2    

¿Cómo es 7/8*base + altura/2 algo equivalente a sqrt(a^2 + b^2)

Answer 1

Que las piernas midan $a$ y $ka$ con $k>1$ . Entonces la aproximación dada es:

$\frac{7ka}{8}+\frac{4a}{8}=\frac{(7k+4)a}{8}$ .

La medida real es $\sqrt{k^2a^2+a^2}=\sqrt{k^2+1}a$ .

Entonces, ¿cómo $\frac{7k+4}{8\sqrt{k^2+1}}$ ¿comportarse? No tan mal.

He aquí un gráfico:

Así, como muestra el gráfico, en el intervalo $(1,\infty)$ la mejor aproximación se produce en $k=1$ para lo cual obtenemos $\frac{7+4}{8\sqrt{2}}=\frac{11}{2\sqrt2}\approx 0.972$ . Después de esto la relación se hace cada vez más pequeña, el límite es $\frac{7}{8}=0.875$ .

¿Puede mejorarse? Sí, la fórmula siempre nos da una longitud menor que la real, por lo que podemos obtener una mejor aproximación tomando coeficientes ligeramente mayores.

Una mejor pregunta es cuál es la mejor aproximación para $\sqrt{a^2+b^2}$ que es de la forma $la+mb+n$ con $l,m,n\in \mathbb Q$ . Ahora, el valor de $l$ va a ser irrelevante porque cuando $a$ y $b$ son lo suficientemente grandes el $l$ no importará mucho.

Así que tenemos que aproximar $\sqrt{a^2+b^2}$ con $la+mb$ . Si escribimos $b$ como $ka$ entonces necesitamos aproximar $\sqrt{k^2+1}a$ con $l+mk(a)$ . Así que esencialmente lo que tenemos que hacer es aproximar $\sqrt{k^2+1}$ con $l+mk$ . Este es el verdadero problema.

La aproximación para $\sqrt{k^2+1}$ proporcionado en la pregunta es $\frac{7k+4}{8}$ . Ahora, si tuviéramos que aproximar $\sqrt{k^2+1}$ por $mk+l$ Creo que sería en nuestro mejor interés para hacer $m=1$ (para que al menos cuando $k$ va a infinito el límite se convierte en $1$ . Entonces sólo es cuestión de encontrar un buen $l$ .

No pensé mucho pero tomando $l=\frac{3}{7}$ parece dar un buen resultado. Este es el gráfico de $\frac{k+3/7}{\sqrt{k^2+1}}$

Se trata de una mejor aproximación, la relación entre la medida correcta, frente a la medida real cuando $k\geq 1$ alcanza un máximo de aproximadamente $1.088$ cuando $k=2.\overline 3$ , esto es lo peor que pasa, mejora cuando $k$ se acerca a $1$ alcanzando el mínimo de $1.01$ y también mejora a medida que $k$ va hasta el infinito, con un límite de $1$ . (al contrario que la primera aproximación, esta aproximación siempre da una hipotenusa más larga de lo que es en realidad, lo que de nuevo nos dice que esta no es realmente la mejor aproximación)

Así que una forma mejor de aproximar la hipotenusa es sumar la longitud del cateto más largo más tres séptimos de la longitud del cateto más corto.

Answer 2

El método proporciona una aproximación no tan buena cuando los dos catetos tienen aproximadamente la misma longitud. En este caso, $$\frac{7}{8}a+\frac{1}{2}b\approx\frac{7}{8}a+\frac{1}{2}a=\frac{11}{8}a=1\mathrm.375 a\approx(1\mathrm.414...)a=\sqrt{2}{a}\approx\sqrt{a^2+b^2}.$$

Answer 3

La optimización numérica revela lo realmente asombrosa que es la aproximación:

Siguiendo el ejemplo de @dREaM y normalizando la longitud del lado más corto, para longitudes de lado $1$ y $k$ nos interesa la relación

$$\frac{ak+b}{\sqrt{k^2+1}}$$

en función de los coeficientes $a$ y $b$ (en la aproximación tamil, $a=7/8$ y $b=1/2$ ). Queremos que la proporción sea lo más cercana posible a $1$ como sea posible para un gran número de longitudes laterales. Algunos experimentos demuestran que se trata de la región $k \in [1,3]$ que es la más problemática, por lo que tiene sentido minimizar la integral

$$ \int_1^3 \left(1- \frac{ak+b}{\sqrt{k^2+1}}\right)^2 \>dk $$

para $a,b$ . Numéricamente, el mínimo se sitúa cerca de

$$ \begin{align} a &= 0.871079 \\ b &= 0.509221 \end{align} $$

que se aproxima mucho a los valores indicados en el texto original. De hecho, si se representa el integrando de los coeficientes originales (naranja) frente a los obtenidos numéricamente (azul), se observa que los valores se acercan mucho al óptimo en el intervalo $[1,3]$ y la mayor parte de la discrepancia se produce cuando las longitudes laterales están próximas entre sí (es decir, cuando $k$ está cerca de $1$ ):

Si suponemos que la mayoría de los triángulos rectángulos prácticos tienen lados cortos que están dentro de un factor de $3$ entre sí, entonces, dadas las fracciones tan simples utilizadas, no cabe duda de que la aproximación original es "óptima" en un sentido práctico.

Answer 4

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Interesado por la respuesta de Pew, me centré en $$I=\int_1^3 \left(1- \frac{ak+b}{\sqrt{k^2+1}}\right)^2 \>dk$$ Utilizar un CAS, $$I=\frac{1}{4} a^2 \left(8+\pi -4 \tan ^{-1}(3)\right)+a \left(b \log (5)-2 \sqrt{2} \left(\sqrt{5}-1\right)\right)+b^2 \left(\tan ^{-1}(3)-\frac{\pi }{4}\right)+2 b \left(\sinh ^{-1}(1)-\sinh ^{-1}(3)\right)+2$$ Tomar derivados $$I'_a=\frac{1}{2} a \left(8+\pi -4 \tan ^{-1}(3)\right)+b \log (5)-2 \sqrt{2} \left(\sqrt{5}-1\right)$$ $$I'_b=a \log (5)+2 b \left(\tan ^{-1}(3)-\frac{\pi }{4}\right)+2 \left(\sinh ^{-1}(1)-\sinh ^{-1}(3)\right)$$ Fijando las derivadas a cero y resolviendo, obtenemos fácilmente las expresiones analíticas para $a$ yf $b$ (los valores numéricos de los mismos figuran en la respuesta de pew). ¡Sus expresiones son realmente feas!

Answer 5

Si partimos de la siguiente tripleta pitagórica $$ m^2 + n^2 , m^2 - n^2 , 2mn$$ Entonces tu método produce, $$ m^2+n^2=\frac{7}{8} \times(m^2-n^2)+mn$$ $$\frac{m^2}{8}+\frac{15}{8}\times n^2 - mn=0$$ $$m^2-8mn+15n^2=0$$ $$(m-3n)(m-5n)=0$$ Así pues, el método anterior funcionará perfectamente para los triples pitagóricos anteriores con m=3n o m=5n .