¿Cuál es la Riemann Zeta función?

Question

En términos de los laicos, tanto como sea posible: ¿Qué es la Riemann Zeta función, y por qué vienen tan a menudo en relación con los números primos?

Answer 1

Supongamos que usted quiere poner una distribución de probabilidad sobre los números naturales con el propósito de hacer de la teoría de números. Cuáles son las propiedades que podrías querer tal distribución? Bueno, si usted está haciendo de la teoría de números, a continuación, usted querrá pensar de los números primos como actuar de manera "independiente": sabiendo que un número es divisible por $p$ should give you no information about whether it's divisible by $q$.

Que rápidamente lleva a la siguiente conclusión: usted debe elegir el exponente de cada una de las prime en la descomposición en factores primos de forma independiente. Entonces, ¿cómo elegir? Resulta que la distribución de probabilidad en los enteros no negativos con la máxima entropía y un determinado media es una distribución geométrica, como se explica por ejemplo por Keith Conrad aquí. Veamos, por tanto, la probabilidad de que el exponente de a $p$ is $k$ to be equal to $(1 - r_p) r_p^k$ for some constant $r_p$.

Esto le da la probabilidad de que un entero positivo $n = p_1^{e_1} ... p_k^{e_k}$ se produce como

$\displaystyle C \prod_{i=1}^{k} r_p^{e_i}$

donde $C = \prod_p (1 - r_p)$. So we need to choose $r_p$ such that this product converges. Now, we'd like the probability that $n$ occurs to be monotonically decreasing as a function of $n$. It turns out (and this is a nice exercise) that this is true if and only if $r_p = p^{-s}$ for some $s > 1$ (since $C$ has to converge), which gives the probability that $n$ se produce como

$\frac{ \frac{1}{n^s} }{ \zeta(s)}$

donde $\zeta(s)$ es la función zeta.

Una manera de pensar acerca de este argumento es que el $\zeta(s)$ is the partition function of a statistical-mechanical system called the Riemann gas. As $s$ gets closer to $, the temperature of this system increases until it would require infinite energy to make $s$ equal to $. But this limit is extremely important to understand: it is the limit in which the probability distribution above gets closer and closer to uniform. So it's not surprising that you can deduce statistical information about the primes by studying the behavior as $s \to 1$ de esta distribución.

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Permítanme mencionar otras dos razones para el cuidado sobre el límite de $s \to 1$ of the above distribution. First, the basic reason to think of the primes as acting independently is the Chinese Remainder Theorem. Second, a natural reason to look at a distribution where the probability that a number has exactly $k$ factors of $p$ is $(1 - p^{-1}) p^{-k}$ is that this is precisely the distribution you get on the residues $\bmod p^n$ for $k < n$. In fact, I believe this can be upgraded to the corresponding statement about Haar measure on the $p$-ádico enteros.

Answer 2

Dar una explicación en términos sencillos siempre va a ser un desafío, dado que la Riemann Zeta función (y relacionadas con la hipótesis) inevitablemente se encuentra en el dominio de las matemáticas abstractas, pero voy a hacer mi mejor esfuerzo.

La Riemann Zeta función es una función compleja que nos dice muchas cosas acerca de la teoría de los números. Su misterio es mayor por el hecho de que no tiene forma cerrada , es decir, no puede ser expresado con una fórmula única que contiene estándar (primaria) funciones.

Aunque hay muchas maneras diferentes de expresar la Riemann Zeta función (el artículo de la Wikipedia ofrece varias), en última instancia, puede ser derivada de las siguientes series de números reales:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^s},\quad\Re(s)\gt1$

extendiéndolo en el plano complejo.

La razón de este extraño y esotérico función es tan famoso y discutido activamente en matemáticas se debe a la hipótesis de Riemann - propuesto en 1859 por el gran Bernhard Riemann y todavía sin resolver. El artículo de Wiki estados el problema en muy sencillo términos:

La Riemann zeta función de z(s) es definida para todos los números complejos s ≠ 1. Tiene ceros en el negativo, incluso números enteros (es decir, en s = -2, -4, -6, ...). Estos son llamados el trivial ceros. La hipótesis de Riemann es de que se trate con el no-trivial de ceros, y afirma que:

The real part of any non-trivial zero of the Riemann zeta function is 1/2.

Por lo tanto la no-trivial ceros debe mentir en la línea crítica, 1/2 +, donde t es un número real e i es la unidad imaginaria.

Aunque la conjetura (es sólo que en el momento) tiene muchas consecuencias para las matemáticas (teoría de números, en particular), la principal, al menos la de Riemann, originalmente propuesto, es acerca de la distribución de los números primos. En otras palabras, nos dice con gran precisión cuál es el promedio de las brechas entre los números primos son como nos movemos más y más números. Muchas de las otras implicaciones son bastante más esotérico, aunque tal vez igualmente importante para los matemáticos puros.

Answer 3

Las respuestas anteriores dan excelentes explicaciones acerca de por qué los zeta función está estrechamente vinculada a la teoría de números, pero pensé que me gustaría mencionar algo acerca de por qué la Hipótesis de Riemann debería importar tanto.

Tomando el logaritmo y, a continuación, la diferenciación de la función zeta, uno tiene la fórmula $$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s}$$

para $\Re(s)>1$, where $\Lambda(n)$ is the von Mangoldt function which takes the value $\log p$ at powers of primes $p$, and is 0 everywhere else. Think of it as a weighted way of counting the primes (the prime number theorem tells us that $\log p$ es el peso natural a elegir).

Gran parte de la teoría analítica de números se procede a la elección de un peso del conjunto deseamos considerar (a menudo los números primos) y, a continuación, la codificación de esta ponderación en un llamado de Dirichlet de la serie (una infinita suma de los de arriba). A continuación, podemos utilizar el análisis para el estudio de esta serie y obtener un montón de información útil.

En este caso, entonces, la función que tenemos que estudiar para obtener información acerca de los números primos es $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$, que se puede estudiar mediante el análisis complejo.

En análisis complejo, un buen eslogan es 'lo único que importa son los ceros y los polos' (efectivamente los puntos donde la función se dispara hasta el infinito).

Por lo tanto para entender los números primos, sólo necesitamos entender los ceros y polos de $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ - we know about the simple pole at $s=1$, we know there aren't any other zeros where it counts, and we also know that the only other poles are at zeros of $\zeta(s)$ (aproximadamente, ya que la división por cero causas infinito).

En otras palabras, si sabíamos donde estos ceros (es decir, la hipótesis de Riemann) podemos trabajar con $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ en todo tipo de maneras inteligentes para obtener buenos resultados en los números primos.

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Más específicamente, en el habitual contorno de la prueba del teorema de los números primos, sabiendo que no hay ceros en $\Re(s)>1/2$ would allow us to shift the contour further to the left, reducing the error term in the result to (roughly) $O(\sqrt{x})$.

Answer 4

Aquí hay otro intento de explicación.

Sabemos que la suma de los inversos de los números positivos, + 1/2 + 1/3 + \cdots$, diverges. Euler shown that the sum of the inverse of the squares, /(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) + \cdots$, has a finite sum, namely $\pi^2/6$. Los matemáticos amor a generalizar las cosas, así que pensó en la función

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^x}$

la cual es definida por $x \gt 1$. Pero esto no fue suficiente: se decidió que la variable puede ser un número complejo y no uno real. Existe una norma técnica (continuación Analítica) lo que nos permite ampliar la función para casi todo el plano complejo. Así que ahora tenemos una función que formalmente es

$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^s}$

(la variable $s$ and not $x$ to show that we are dealing with complex numbers) but is not computed in this way. Just to make an example, $\zeta(0)=1/2$, and sum of an infinity of ones is not /2$. :-)

Se puede demostrar que para $s = -2n$ ($n$ positive integer) $\zeta(s) = 0$. But there are infinite other point $s'=(x,y)$ where $\zeta(s') = 0$. For all of these points, $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\prod_{p \text{ prime}}\frac1{1-p^{-s}}$ \lt x \lt 1$; Riemann's hypothesis says that for all such points $x = 1/2$. If it were true, we could have the best asymptotic expression to count $\pi(n)$, that is the number of primes below $n$.

¿Por qué la función pop up cuando hablamos de los números primos? No sé, pero en el caso de los valores enteros de Euler demostró que

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Tal vez este podría ser un buen comienzo.

Answer 5

El punto clave es que la Riemann zeta función es una función cuyas propiedades codificar las propiedades de los números primos. Como se ha mencionado por Noldorin, con el fin de comprender plenamente la Riemann zeta función necesita "analíticamente continúe hasta el plano complejo", que es un complicado proceso que lleva a un estudio serio. Afortunadamente para algunos sea más fácil propiedades de los números primos que sólo puede utilizar la definición de la función zeta de real s.

De la demanda (debido a Euler): El hecho de que $\zeta(s)$ va al infinito como el s->1 indica que existen infinitos números primos.

Croquis de la prueba: el Uso de la "Euler de la factorización de" mencionado por mau (ampliar la RHS como una serie geométrica y luego se multiplica a cabo utilizando única factorización en números primos):

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^s} = \prod_{p prime} \frac{1} {1-p^-s}$

Ahora tomar registro de ambos lados para obtener: $\log \zeta(s) = \sum_{p prime} \log \frac{1} {1-p^-s}.$

Ahora el uso de la serie de taylor para \log y enviar s a uno. Vas a conseguir que la izquierda tiende a infinito (http://math.stackexchange.com/questions/255/), mientras que el lado derecho se parece a $\sum 1/p$ + delimitada términos. Así que debe haber un número infinito de números primos.