Estoy leyendo este (muy corto, de 1 página) artículo de W.H. Mills donde determina que existe un número real $A$ tal que $f(n) = \lfloor {A^3}^n \rfloor$ es un número primo para todos los enteros positivos $n.
En el artículo antes del Teorema 1, tiene esta secuencia $\{P_n\}_{n=0}^{\infty}$ con la propiedad
$$P_n^3 < P_{n+1} < (P_n + 1)^3 - 1. \hspace{20pt} (*)$$
Define una nueva secuencia $\{u_n\}_{n=0}^{\infty}$ con $u_n = P_n^{3-n}$ y procede a probar cosas sobre esa secuencia. En particular afirma (sin demostración) que $u_{n+1} > u_n$ (lo cual también puede escribirse como $P_{n+1}^{3-n-1} > P_n^{3-n}$).
Estoy tratando de justificar el paso y está resultando más difícil de lo que pensaba. Intenté usar $(*)$ de la siguiente manera:
$$P_{n+1}^{3-n-1} > \left( P_n^3 \right)^{3-n-1} = P_n^{9-3n-3} = P_n^{6-3n}.$$
Para concluir, necesitaría la desigualdad $P_n^{6-3n} > P_n^{3-n}$. Puedo ver cómo obtener $P_n^{6-3n} > P_n^{3-3n}$, pero la frase $P_n^{3-3n} > P_n^{3-n}$ es claramente falsa, por lo que esto no funcionará.
Esto me indica que debería comenzar desde el otro lado de $(*)$. Si lo intentas utilizando el hecho de que para $x>0$, $(x+1)^c > x^c+x^{c-1}+1$, esto es lo que sucede:
$$\begin{array}{} (p_{n+1}+1)^{3-n} &> p_{n+1}^{3-n} + p_{n+1}^{3-n-1} + 1 \\ &> \left( p_n^{3-n} \right)^3 + \left( p_n^{3-n-1} \right)^3, \end{array}$$
entonces me gustaría concluir $> p_n^{3-n}$, pero no va a ser verdad ya que $p_n^{3-n} < 1$ implica $\left( p_n^{3-n} \right)^3 < p_n^{3-n} < 1$.
¿Qué no estoy viendo?
