El cálculo de $\pi$ mediante dos fórmulas: $\pi/4 = \arctan(1/2) + \arctan(1/3)$ $\pi/4 = 4\arctan(1/5) - \arctan(1/239)$

Question

¿Cómo puedo utilizar estos dos fórmulas con dos series infinitas, cada uno de los cuales se utiliza para calcular el $\pi$?: $$\begin{align*} \frac{\pi}4 &= \arctan(1/2) + \arctan(1/3)\\ \frac{\pi}4 &= 4\arctan(1/5) - \arctan(1/239) \end{align*}$$

Answer 1

Usted necesita la energía de la serie de $\arctan x$: $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots.$$

Este poder de expansión de la serie es a menudo llamado el Leibniz de la serie, aunque más correctamente su nombre debe estar relacionado con el bonito, pero no muy útil caso especial $x=1$. El general de la serie fue descubierta de forma independiente por Gregory. También era bien conocido para el Sur de la India matemáticos en torno a $200$ años antes que Leibniz o Gregory nació. El nombre de Nilakantha se asocia a veces con el descubrimiento, pero desafortunadamente no existe una certeza; se puede ir todo el camino de regreso a finales del siglo xiv matemático Madhava. Para más detalles sobre la Kerala de la escuela de matemáticas, por favor consulte Kim Plofker del libro.

El "Nilakantha" de la serie converge a $\arctan x$ al $-1\le x\le 1$, aunque la convergencia es desesperadamente lento en $x=\pm 1$.

El uso de $\dfrac{\pi}{4}=\arctan(1/2)+\arctan(1/3)$ tenemos $$\frac{\pi}{4}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot 2^3} + \frac{1}{5\cdot 2^5}-\frac{1}{7\cdot 2^7}+\cdots \right)+ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot 3^3} + \frac{1}{5\cdot 3^5}-\frac{1}{7\cdot 3^7}+\cdots \right) .$$ Los términos bajar razonablemente rápido. Para cada parte, el error de hecho cuando nos truncar la serie infinita en un lugar determinado es menor, en valor absoluto, que la primera "descuidado" plazo.

Podemos obtener un mejor rendimiento de la segunda fórmula, que usted ha citado, que se llama Machin de la Fórmula. Las potencias negativas de $5$ $239$ bajar mucho más rápido que en el caso de $2$$3$. Por otra parte, las fracciones $\dfrac{1}{5^{2n+1}}$ son particularmente agradables si estamos usando aritmética decimal.

El Machin de la Fórmula, y a sus familiares, junto con el poder de la serie para $\arctan x$, son el método utilizado para la más alta precisión de aproximaciones a $\pi$ desde el siglo xviii hasta la actualidad. Alternativas viables sólo han surgido recientemente.

Answer 2

Sólo para completar: Para probar la igualdad de $$\pi/4 = \arctan(1/2) + \arctan(1/3)$$ consider that $$(2+i)(3+i) =5+5i.$$ Ahora, tomando los argumentos de ambos lados y desde el argumento de un producto es la suma de los argumentos de los factores, la igualdad de la siguiente manera.