Potencial De Munkres Error? (Imposible!)

Question

Este es el problema 19.10 (d) de Munkres' topología de texto, la segunda edición:

Deje $A$ ser un conjunto; deje $\{X_\alpha\}$ ser indizada a la familia de los espacios; y deje $\{f_\alpha\}$ ser indizada a la familia de funciones, $f_\alpha\colon A \to X_\alpha$. Deje $S_\alpha = \{f_\alpha^{-1}(U_\alpha) \ | \ U_\alpha \ \text{open in} \ X_\alpha\}$, y deje $S$ ser la unión de $S_\alpha$$\alpha$. Deje $T$ denotar la topología en $A$ generado por el subbasis $S$.

(d) Deje $X = \prod_\alpha X_\alpha$ con el producto de la topología. Deje $f\colon A \to X$ ser definido por la ecuación $f(a) = (f_\alpha(a))$; deje $Z$ denota el subespacio $f(A)$ del espacio del producto $X$. Mostrar que la imagen en $f$ de cada elemento de $T$ es un conjunto abierto de $Z$.

No puedo entender esto. Creo que estoy confundida con algunos de los fundamentos con respecto a la topología producto, porque tengo una propuesta de contador de ejemplo de esta afirmación. Me gustaría que alguien me indicara dónde mi confusión está, suponiendo que la afirmación es verdadera.

Contador De Ejemplo: Supongamos $A = \mathbb R$. Para todos los enteros positivos $i$, vamos a $X_i = \mathbb R$, con el estándar de la topología, y deje $f_i = I = \ \text{the identity map on} \ \mathbb R$. A continuación, $X = \mathbb R^\omega$$Z = f(A) = \mathbb R^\omega$. Ahora, un ejemplo de un conjunto abierto en $T$ es el subbasis elemento $I^{-1}((0,1)) = (0,1)$. Pero $f((0,1))$$(0,1)^\omega$. Si esta imagen se abra en $Z = \mathbb R^\omega$ con el producto de la topología, entonces existiría una base de elemento de $\mathbb R^\omega$ mintiendo completamente dentro de $(0,1)^\omega$. Esto es imposible, ya que la base de los elementos de la topología producto en $\mathbb R^\omega$ parecerse a los contables de la unión de subconjuntos abiertos de $\mathbb R$, $U_i$, donde $U_i$ es igual a $\mathbb R$ para todos, pero un número finito de $i$.

Answer 1

Deje $\mathscr{B}$ ser el conjunto de todas las intersecciones de un número finito de miembros de $S$; por definición, $\mathscr{B}$ es una base para la topología $T$. Vamos a mostrar primero que si $B\in\mathscr{B}$, $f[B]$ está abierto en $Z$. Por comodidad vamos a $I$ el conjunto de índices.

Desde $B\in\mathscr{B}$, hay índices de $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in I$ algunos $n$ y abrir conjuntos de $U_k$ $X_{\alpha_k}$ $k=1,\dots,n$ tal que $B=f_{\alpha_1}^{-1}[U_1]\cap f_{\alpha_2}^{-1}[U_2]\cap\ldots\cap f_{\alpha_n}^{-1}[U_n]$. Ahora vamos a $V_{\alpha_k}=U_k$$k=1,\dots,n$, vamos a $V_\alpha=X_\alpha$$\alpha\in I\setminus\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$, y deje $V=\prod_{\alpha\in I}V_\alpha$; por definición, $V$ es un básico conjunto abierto en la topología producto en $X$, y afirmo que $f[B]=Z\cap V$, el cual es por definición un subconjunto abierto de $Z$.

Supongamos que $a\in B$. Por definición

$$f(a)=\langle f_\alpha(a):\alpha\in I\rangle\;.$$

En particular, para $k=1,\dots,n$ $\alpha_k$- ésima coordenada de $f(a)$$f_{\alpha_k}(a)$, y desde $a\in B\subseteq f_{\alpha_k}^{-1}[U_k]$, se deduce que el $f_{\alpha_k}(a)\in U_k$. En otras palabras, para$k=1,\dots,n$, $\alpha_k$- ésima coordenada de $f(a)$$U_k=V_{\alpha_k}$. Y desde $V_\alpha=X_\alpha$$\alpha\in I\setminus\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}$, $f_\alpha(a)\in V_\alpha$ todos los $\alpha\in I$ y, por tanto,$f(a)\in V$. Obviamente $f(a)\in f[A]=Z$, lo $f(a)\in Z\cap V$, y hemos demostrado que $f[B]\subseteq Z\cap V$.

Para completar la prueba de que $f[B]=Z\cap V$, usted debe demostrar que si $x\in Z\cap V$,$x\in f[B]$. Para ello, tenga en cuenta que desde el primer $x\in Z$, $x=f(a)=\langle f_\alpha(a):\alpha\in I\rangle$ para algunos $a\in A$. Desde $x\in V$, usted también sabe que $x_\alpha\in V_\alpha$ por cada $\alpha\in I$; ahora utilizar esa información para mostrar que $a\in B$, y te han demostrado que $Z\cap V\subseteq f[B]$ y que, por ende,$f[B]=Z\cap V$.

Para completar la prueba del teorema, ahora debe demostrar que si $U$ es cualquier conjunto abierto en $A$, $f[U]$ está abierto en $Z$. Para ello, utilice el hecho de que, por definición, $U$ es una unión de miembros de $\mathscr{B}$, y ya se sabe que $f[B]$ está abierto en $Z$ por cada $B\in\mathscr{B}$.

Answer 2

Si yo soy la comprensión de la pregunta, en tu ejemplo, f(a) es la constante de la secuencia (a,a,a,...). Por lo tanto f(A) no es $R^\omega$, pero el mucho más pequeño conjunto de constantes secuencias de números reales.