¿De dónde surgió la respuesta negativa vienen en la continuidad de la fracción $1+\frac{1}{1+1/(1+\dots)}$?

Question

En esta pregunta hemos aumentado la solución de dominio elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, pero lo que acerca de esto ?

Aquí la pregunta es evaluar $1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots }}}}}$

$$x=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}}$$

$$x-1=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots }}}}}$$

$$\cfrac{1}{x-1}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots }}}}}$$

$$\cfrac{1}{x-1}=x$$

$$x^2-x-1 = 0$$

$$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

Ahora, es obvio que la respuesta no puede ser negativo así :

$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

Answer 1

Creo que es obvio que es un número negativo de magnitud menor que 1. Después de todo, $1 / x$ es claramente un número negativo de magnitud mayor que $1$!

Bueno en realidad no. Pero la razón por la que creo que es obviamente positivo es que hay una condición oculta en su pregunta: usted tiene la intención de $x$ a ser el límite de la secuencia $$1, 1 + \frac{1}{1}, 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}, \ldots $$ rather than, say, just a number that satisfies the self-referential relationship $x = 1 + 1/x$. Es esta condición oculta, que la diferencia entre las dos soluciones de esta ecuación.

Answer 2

Deje $f(z)=1+\frac1z$. La función de $f$ tiene dos puntos fijos, que se $\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.

En primer lugar, cuando usted escribe $$x=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}}$$ se está definiendo $x$ a ser el particular punto fijo de $f$ que atrae a la órbita de $1$, si es que existe. Lo que ocurre es que $x$ no existe y es igual a $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Más tarde, cuando escribe $$x=1+\frac1x$$ estás afirmando que $x$ es algún punto fijo de la $f$, pero esta ecuación no especificar qué punto fijo que es.

Answer 3

Si establecemos $x = \dfrac{1}{-1 +\underbrace{\dfrac{1}{-1+\dfrac{1}{-1+\dfrac{1}{-1+\cdots}}}}_{x}}$, luego tenemos a $x = \frac{1}{-1 + x}$, lo que da también a $x^2 - x - 1=0$

Esa es una presentación similar de la respuesta negativa.