Si $f \in L^1$ $f$ está en todas partes estrictamente positivo, entonces se sigue que la $|\widehat{f}(y)| < \widehat{f}(0)$$y \neq 0$?

Question

Como la pregunta sugiere su título, si $f \in L^1$ $f$ está en todas partes estrictamente positivo, entonces se sigue que la $|\widehat{f}(y)| < \widehat{f}(0)$$y \neq 0$?

Answer 1

En primer lugar tenemos a $\hat{f}(0)\geq |\hat{f}(y)|$ desde $$|\hat{f}(y)|= \bigg|\int f(x) e^{-2\pi i xy} dx \bigg| \leq \int |f(x)| | e^{-2\pi i xy}| dx = \int f(x) dx = \hat{f}(0).$$

Y para la desigualdad estricta observar que $$\bigg|\int f(x) e^{-2\pi i xy} dx \bigg|^2 = \bigg(\int f(x)\cos(2\pi xy) dx\bigg)^2+\bigg(\int f(x)\sin(2\pi xy) dx\bigg)^2 \quad (\star)$$ Ahora aplicamos la desigualdad de Jensen. Mirando "$f(x) dx$" como nuestra medida, hemos $$\bigg(\frac{1}{\int f(x) dx} \int \cos(2\pi xy) f(x)dx\bigg)^2 < \frac{1}{\int f(x) dx} \int \cos(2\pi xy)^2 f(x)dx$$ y lo mismo para la integral con $\sin(x)$.

Nota la igualdad en la desigualdad de Jensen $\phi\left(\frac{1}{\mu(E)} \int_E g d\mu \right) = \frac{1}{\mu(E)} \int_E \phi(g)d\mu$ mantiene si y sólo si $g$ es constante o $\phi$ es lineal.

Aplicar esto a $(\star)$, obtenemos $$\bigg|\int f(x) e^{-2\pi i xy} dx \bigg|^2<\bigg(\int f(x) dx \bigg)^2.$$

Answer 2

\begin{align} |\hat{f}(y)| &= \left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f(x)dx\right| \\ & \le \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\infty}^{\infty}|f(x)|dx \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx =\hat{f}(0). \end{align}