Tajada de pizza sin corteza

Question

La siguiente pregunta surgió en una conferencia y tomó un tiempo encontrar una solución.

Problema. Encuentra una forma de cortar una pizza en un número finito de piezas congruentes de tal manera que al menos una pieza de pizza no tenga borde.

Podemos hacer esto más concreto,

Sea $D$ el disco unitario en el plano $\mathbb{R}^2$. Encuentra un conjunto finito de subconjuntos de $D$, $\mathcal{A}=\{A_i\subset D\}_{i=0}^n$, tal que

• para cada $i$, $A_i$ es simplemente conexo e igual al cierre de su interior
• para cada $i, j$ con $i\neq j$, $\operatorname{int}(A_i)\cap \operatorname{int}(A_j)=\emptyset$
• $\bigcup\mathcal{A}=D$
• para cada $i,j$, $A_i=t(A_j)$ donde $t$ es una transformación rígida (posiblemente inversa a la orientación) del plano
• para algún $i$, $\lambda(A_i\cap\partial D)=0$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue en el círculo de borde.

Nótese que solo requerimos que $\lambda(A_i\cap\partial D)=0$ y no que $A_i\cap\partial D=\emptyset$. Conozco una solución pero estoy interesado en qué tipos de soluciones pueden encontrar otras personas, así que agradezco el intento.

Answer 1

Aquí hay otro con 12 piezas, pero todas las piezas tienen la misma orientación:

$\hspace{32mm}$

Usando esta idea, la pizza se puede dividir en $6n$ piezas iguales con la misma orientación para cualquier $n$. Sin embargo, para tener algunas piezas sin borde, necesitamos $n\gt1$. Arriba está $n=2$, aquí está $n=3$:

$\hspace{32mm}$

Para cortar una pizza así, una cuchilla con forma de, y tan larga como un sexto de, la circunferencia de la pizza sería muy útil, ya que todos los cortes son de este tamaño y forma.

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Aquí tienes código Mathematica que generará estas pizzas cortadas para cualquier $n$:

Pizza[n_] := 
 Module[{g, arcs = {Thickness[1.3/400], Circle[{0, 0}, 1]}}, 
  For[i = 0, i < 6, For[j = 0, j < n, AppendTo[arcs,
     Rotate[Rotate[Circle[{-1, 0}, 1, {0, Pi/3}],
       j Pi/3/n, {-1/2, Sqrt[3]/2}], i Pi/3, {0, 0}]]; ++j]; ++i]; 
  Show[Graphics[arcs], ImageSize -> 400, 
   PlotRange -> 1.01 {{-1, 1}, {-1, 1}}]]

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Motivación

Pensé en la construcción de un hexágono regular: dibujas un círculo con un compás, y luego marcas arcos en el círculo cuyas cuerdas son el radio del círculo. Debido a las propiedades de los triángulos equiláteros, cada arco es exactamente $1/6$ de la circunferencia del círculo, y las cuerdas de esos arcos forman un hexágono regular. En cada vértice del hexágono, el compás se extenderá al siguiente vértice (por construcción) y al centro del círculo (nuevamente, por construcción).

Conectando cada vértice con el centro mediante arcos centrados en el vértice anterior, obtenemos el círculo dividido en $6$ triángulos curvilíneos con lados congruentes; dos lados convexos y un lado cóncavo. Los centros de los lados convexos son los vértices opuestos del triángulo curvilíneo. Dado que las cuerdas de los lados curvados tienen una longitud de $1$ radio, podemos trazar los lados interiores convexos con un arco congruente que rota alrededor del vértice opuesto.

$\hspace{32mm}$

Dado que podemos barrer estos $6$ triángulos con estos arcos congruentes, podemos dividir los triángulos curvilíneos en cualquier número de piezas congruentes con estos arcos.

Answer 2

Aquí hay una solución en $12$ piezas.

Answer 3

Si esto viola claramente los parámetros, considérelo como una oportunidad de aprendizaje. ¿Contaría esto: