La paradoja del chico y la chica me está volviendo loco

Question

Sé que esta pregunta se hace una y otra vez, pero sigo sin entender nada.

Digamos que me presentan a un padre de dos hijos al azar y quiero saber cuál es la probabilidad de que sus dos hijos sean varones. Actualmente:

• BB BG GB GG 1/4

La primera letra representa al hermano menor y la segunda al mayor. Hasta aquí todo bien.

(1) Ahora el padre me dice que su hijo menor es varón:

• BB BG GB GG 1/2

(2) Si, en cambio, me dijera que al menos uno de sus hijos es varón:

• BB BG GB GG 1/3

Tiene sentido, más o menos.

(3) Pero si el padre trajera a uno de sus hijos sin decir si es el menor o el mayor y ese niño resultara ser un varón, creo que todavía podría haber llegado honestamente a la probabilidad del 50/50:

• BB BG GB GG 1/2

Donde la primera letra representa al niño que acabo de ver y la segunda letra representa a su hermano.

Ahora, digamos que el padre primero me dijo que tiene al menos 1 niño. Ese es el caso (2).

¡Entonces el padre llamó a (uno de) los niños aquí, y de alguna manera la situación se convirtió en el caso (3)!

¿Qué ha cambiado exactamente? ¿Qué tipo de información nueva acabo de obtener? Vale, he visto a (uno de) los niños, pero lo único que me dice es que uno de los niños es varón, cosa que ya sabía por las propias palabras del padre.

Me parece que cualquier cosa que pudiera traer que tuviera algún tipo de relación con (uno de) los niños para permitirme identificarlo de forma única funcionaría: una foto, una huella en una playa, etc. Incluso si simplemente me dijera que acaba de pensar en uno de sus hijos que es un niño, creo que podría hacerlo:

• BB BG GB GG 1/2

Donde la primera letra representa al niño en el que el padre ha pensado en XX/XX/XXXX XX:XX:XX UTC, y la segunda letra representa a su otro hijo.

¿Esto es magia? ¿O es que soy un estúpido?

¿No puedo construir yo mismo esa forma de identificación? Por ejemplo, que la primera letra represente al niño más pequeño (el único niño si sólo hay uno), y que la otra letra represente al otro niño. Dado que el padre no es una entidad abstracta, esto identificaría de forma única a algún hijo.

---

No veo cómo cambiar la representación cambia las cosas.

Digamos que he visto a uno de los padres en una foto tras un grueso cristal borroso que no me deja ver si es niña o niño. Por lo tanto:

• BB BG GB GG 1/4

La primera letra representa al niño de la foto y la segunda al otro niño.

Ahora se ha quitado el cristal y puedo ver la foto con claridad y efectivamente es un niño:

• BB BG GB GG 1/2

Answer 1

Entonces el padre llamó a (uno de) los niños aquí

¿Por qué hizo eso el padre? Es importante.

(A) Si el padre llamó a un niño al azar, y resultó ser uno de los niños de los que habías hablado, entonces la probabilidad de que el niño restante sea un niño es $1/2$ .

(B) Si le pediste específicamente al padre que llamara a un niño, y él accedió, entonces no has aprendido nada nuevo, y la probabilidad de que el niño restante sea un niño sigue siendo $1/3$ .

Modelemos ambos escenarios con el siguiente espacio de probabilidad:

• BB1 BB2 BG1 BG2 GB1 GB2 GG1 GG2

La primera letra es el sexo del hijo mayor, la segunda letra es el sexo del hijo menor y el número es el hijo favorito, al que el padre llamará si tiene la oportunidad. Supongamos que las tres variables son lanzamientos de moneda independientes.

Es el caso de que el padre tenga al menos un niño:

• BB1 BB2 BG1 BG2 GB1 GB2

Este es el caso en el que el padre llama a un niño en el escenario (A):

• BB1 BB2 BG1 GB2

Este es el caso en el que el padre llama a un niño en el escenario (B):

• BB1 BB2 BG1 BG2 GB1 GB2

Answer 2

La aparente paradoja radica en la diferencia de información entre "al menos uno" y " este uno".

Supongamos que es Halloween y que el padre va acompañado de dos niños con disfraces voluminosos, por lo que no se puede saber cuál es.   Dejemos que $L$ ser el caso de que un niño esté dentro del traje de la izquierda, y $R$ ser el caso de que un niño esté dentro del traje de la derecha.

Anteriormente para aprender algo más, la probabilidad de que ambos sean varones es $\mathsf P(L\cap R)=1/4$ si asumimos una probabilidad independiente de 50:50 de ser niño para cada uno.

Si surge en la conversación que al menos uno de ellos es un niño, entonces sólo sabes $L\cup R$ y la probabilidad condicional es $$\mathsf P(L\cap R\mid L\cup R) = 1/3$$

Si luego te enteras de que el de la izquierda es un niño, entonces sabes $L$ y la probabilidad condicional es $$\mathsf P(L\cap R\mid L) = 1/2$$

---

Esto es algo que hay que vigilar ya que es algo contra intuitivo y puede ser sutil.

---

Nuestra intuición es que si sabemos que "al menos un niño es varón" , entonces la probabilidad de que "ambos niños sean varones" es la probabilidad de que "el otro niño sea varón".   Sin embargo, nuestra intuición es errónea porque no sabemos que el niño es el otro niño.

Cuando se le dijo que "al menos un niño", esa información podría darse cuando sólo este niño, sólo que hijo, o ambos hijos son varones.

Cuando se nos dice que " que un niño", que la información sólo se puede dar cuando se acaba de este hijo, o ambos hijos, son varones.   Sabemos algo extra (ya sea por la posición, la edad o lo que sea) sobre la identidad del chico.

Answer 3

No es tanto una paradoja como una ilustración de que la forma de elegir al niño importa. Veámoslo en grande:

Si se toma una lista de todas las familias con dos hijos que tienen al menos un niño, se encontrará que un tercio de ellas tienen dos niños.

Si se toma una lista de todos los niños con exactamente un hermano, se encontrará que la mitad de ellos tienen un hermano.

¿Por qué ocurre esto? En el segundo caso, estás contando dos veces las familias con dos niños.