¿Definición rigurosa del logaritmo de los polinomios?

Question

A continuación se demuestra que el polinomio ciclotómico $\Phi_n(x)=\prod_{d|n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}$ utilizando la inversión de Möbius. Sin embargo, requiere que tomemos el logaritmo de un polinomio, lo cual (hasta donde yo sé) no está necesariamente bien definido. ¿Hay alguna manera de arreglar esto, o de definir rigurosamente el logaritmo de un polinomio?

Tenemos $x^n-1=\displaystyle\prod_{d|n}\Phi_d(x)$ . Tomando el logaritmo de ambos lados da como resultado: $$\log\left(\prod_{d|n}\Phi_d(x)\right)=\sum_{d|n}\log(\Phi_d(x))=\log(x^n-1).$$ Por inversión de Möbius tenemos \begin{align*}\log(\Phi_n(x)) &= \log(x^n-1)*\mu \\ &=\sum_{d|n}\log(x^d-1)\mu\left(\frac{n}{d}\right)\\ &=\sum_{d|n}\log\left[(x^d-1)^{\mu(n/d)}\right] \\ &=\log\left(\prod_{d|n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}\right), \end{align*} y exponenciando ambos lados se obtiene el resultado deseado.

Answer 1

Se puede pensar en el logaritmo como si se tomara el logaritmo puntual, pero restringido a valores de $x$ tal que $\Phi_d(x) > 0$ para todos $d$ . Hay infinitos de estos, y la verificación de una identidad polinómica para infinitos valores de $x$ lo verifica de forma idéntica.

Al escribir la identidad como una identidad sobre $1 - x^n$ también puedes considerar el logaritmo como una serie de potencias formal.

Pero como dice el usuario8268 en los comentarios ocurre algo más fundamental: la prueba de la inversión de Möbius funciona tanto multiplicativa como aditivamente.