$$ \mbox {¿Cómo puedo encontrar la suma de esta serie}\quad \sum_{n=0}^{\infty}{\sin^{3}\left(3^{n}\right) \más de 3^{n}}\ {\large ?} $$
Sugerencias en la dirección correcta sería apreciada.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia: Utilice este $\sin^3x=\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin3x. $
Solución: Deje $a_n=\frac{\sin^33^n}{3^n}$$b_n=\frac{\sin3^n}{3^n}$. Así que a partir de la identidad se ha mencionado, uno simplemente tiene que $ a_n = \frac{1}{4}(3b_n -3b_{n+1}). $ Por lo tanto, $$ \sum_{n\ge 0} \frac{\sin^33^n}{3^n} = \sum_{n\ge 0} a_n = \sum_{n\ge 0} \frac{1}{4}(3b_n -3b_{n+1}) = \frac{3}{4}b_0 = \frac{3\pecado 1}{4}. $$
user113978
Puntos
83
A partir de la identidad $ \displaystyle \left(\sin(x)\right)^3 = \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3$ obtener $ \displaystyle \left(\sin(x)\right)^3 = \frac{3}{4}\sin(x)-\frac{1}{4}\sin(3x) $
En particular : $ \displaystyle \frac{\sin^3(3^n)}{3^n} = \frac{3}{4}\left(\frac{\sin(3^n)}{3^n}-\frac{\sin(3^{n+1})}{3^{n+1}}\right)$
Así que tenemos una telescópica suma parcial : $$ \sum_{n=0}^N \frac{\sin^3(3^n)}{3^n} = \frac{3}{4} \sin(1)-\frac{3}{4} \frac{\sin(3^{N+1})}{3^{N+1}} $$
Así que desde $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0 $ tomando el límite de $ N \rightarrow +\infty $ le da : $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin^3(3^n)}{3^n} = \frac{3}{4} \sin(1) $$
