Curva menos número finito de puntos afín

Question

Estoy haciendo otro ejercicio de Liu. Sea X una curva proyectiva suave geométricamente conectada sobre un campo k de género $g \geq 2$ Demuestre que existen como máximo $(2g-2)^{2g}$ puntos $x \in X(k)$ tal que $X \setminus x$ es una curva plana afín.

En el primer ejercicio, se demostró que $\omega_{C/k} \cong \mathcal{O_C}$ si C es una curva plana afín, es decir, una curva iomorfa a un subesquema cerrado de un subesquema abierto de $\mathbb{A}^2_k$ . Mi pensamiento fue que tal vez deberíamos usar que el grado del divisor canónico en X es $2g-2$ ...y luego... No estoy seguro. ¿Alguna pista?

Answer 1

Supongamos que $k$ es algebraicamente cerrado. Creo que el método puede extenderse para k no cerrado algebraicamente, intentaré escribir una continuación más adelante. Sea $X$ sea su curva y tenga en cuenta que si $x$ es un punto tal que $C= X \setminus x$ es una curva plana afín, entonces tenemos que $\omega_{C/k} \cong \mathcal{O}_C$ para que $K \sim (2g-2)x$ para $K$ el divisor canónico. Así pues, fijemos un punto $x \in X$ tal que $X \setminus x$ es una curva plana afín. Entonces tenemos que para cualquier otro punto $x'$ tal que $X \setminus x'$ es una curva plana afín, que $(2g-2)(x-x') \equiv 0.$ Así, $x-x'$ es de orden $(2g-2)$ . Ahora, tenemos que $Pic^0(X)(2g-2) \cong (\mathbb{Z}/(2g-2))^{2g}$ por lo tanto, puede haber como máximo $2g-2$ tales puntos.