Hacer expresiones como $(-1)^{2/3}$ se muestran de forma natural en pura o aplicada matemáticas?

Question

De fondo. Deje $x$ denotar un número real arbitrario. A continuación, $x^n$ puede ser definido para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ como sigue:

$$x^n = \underbrace{x \times \cdots \times x}_n$$

Si $x$ es, además, distinto de cero, entonces podemos extender la definición de arriba declarando que $x^k$ tiene sentido para cada una de las $k \in \mathbb{Z},$ definiendo:

$$x^{-n} = \underbrace{(1/x) \times \cdots \times (1/x)}_n$$

para todos los enteros positivos $n$.

Si $x$ es, además, positivo, podemos ir un paso más allá y declara que el $x^y$ tiene sentido para cada una de las $y \in \mathbb{R},$ mediante la definición de que

$$x^y = e^{y \log x}$$

para todos los que no sean integral de los números reales $y$.

El resultado. El resultado de todo esto es bastante bonito. Observamos que todos los habituales exponencial de las leyes de espera, y tenemos un poco de buen cierre de resultados, también. En particular:

1. si $n \in \mathbb{N}$ $x$ es real, entonces la $x^n$ es real.
2. si $n \in \mathbb{Z}$ $x$ es real distinto de cero, entonces a $x^n$ es real distinto de cero.
3. si $y \in \mathbb{R}$ $x$ es positivo, $x^y$ es positivo.

El cuarto paso. Sin embargo, en la secundaria que ir un paso más allá. Por ejemplo, nos enteramos de que $(-1)^{1/3}$ está bien definido, y es igual a la única real $x \in \mathbb{R}$ tal que $x^3 = -1$. También es $(-1)^{2/3},$ lo que equivale a $((-1)^2)^{1/3}$, o, equivalentemente, $((-1)^{1/3})^2.$

Desafortunadamente, una vez que hacemos este cuarto paso, la teoría de repente se vuelve más complicado, debido a que la habitual exponencial de las leyes no todos tienen. Por ejemplo, $$-1 = (-1)^{2/2} = (-1)^{(1/2) \cdot 2} \neq ((-1)^{1/2})^{2} = \mathrm{undef}.$$

Pregunta. Es este cuarto y último paso aprendemos en la escuela secundaria realmente útil? Más precisamente, hacer expresiones como $(-1)^{2/3}$ se muestran de forma natural en pura o aplicada matemáticas? Si es así, ¿dónde?

Si es así, me gustaría ver ejemplos específicos.

Answer 1

Sí; en lugares donde un número $x$ tiene un único $n$-ésima raíz, puede muy bien ser útiles para definir los $x^{1/n}$ a ese número.

La costumbre exponencial de las leyes de hacer todavía se mantienen si no tratamos de llevarlos demasiado lejos; por ejemplo, si $x$ $x^m$ ambos han únicas $n$-th raíces, a continuación,$(x^m)^{1/n} = (x^{1/n})^m$. De hecho, podemos decir más: si $x$ tiene un único $n$-ésima raíz, entonces también lo hace $x^m$. Y como un parcial de conversar, si $x^m$ tiene un único $n$-ésima raíz y $\gcd(m,n) = 1$, $x$ tiene un único $n$-ésima raíz así.

Yo postulan que en la mayoría de los puramente contextos reales donde se permitiría $x^3$ a definirse al $x$ es un número real negativo, entonces usted también debe permitir a $x^{1/3}$ a ser definido por la negativa de los números reales.

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Recientemente he hecho uso de esta, en la configuración de $p$-ádico de análisis. Específicamente, yo estaba interesado en la estructura de $\mathbf{Z}_3[\sqrt{3}]$.

El poder de la serie para $\exp(z)$ sólo está definida para los elementos que $z \equiv 0 \pmod 3$; sin embargo, para este anillo, es conveniente ampliar la definición a todos los $z \equiv 0 \pmod{\sqrt{3}}$ mediante $\exp(z) = \exp(3z)^{1/3}$.