La motivación para el nLab la definición de cohomology?

Question

Estoy tratando de penetrar la nLab artículo sobre cohomology. No sé nada acerca de categoría superior en la teoría, pero parece que el contenido real aquí es topológico. Mi pregunta tiene dos partes.

En primer lugar, la nLab da la siguiente definición general de cohomology, con la motivación de aquí. Para el común de los cohomology, entiendo. Ponemos en el Eilenberg-MacLane espacios de $K(G,n)$$A$, y queremos recuperar cohomology utilizando el estándar de hecho de que cohomology es representable functor representado por el E-ML espacios. Además, sabemos que delooping uno de estos aumentos $n$$1$. Vamos a seguir con este ejemplo para el momento.

Filosóficamente, ¿por qué es la definición que dan los de la derecha? Para mí, cohomology significa un functor de algunos de categoría a (más comúnmente) la categoría de abelian grupos, con la propiedad adicional de giro corto exacta de las secuencias en el tiempo exacto secuencias en cohomology. En la categoría topológica, normalmente nos motivan esta hablando acerca de la "medición de agujeros", y, más generalmente, hablamos de la medición de la falta de algo para ser exacta o trivial. Para mí, el hecho de que cohomology es representable parece totalmente fortuita (homología no es, por ejemplo) y más como el final de la historia, más que el principio. ¿Por qué debemos tomar la representatividad y delooping conceptos como nuestra definición? ¿Por qué son más básica y central?

Segundo, tengo curiosidad acerca de cómo otros cohomology teorías encajan dentro de esta. Vamos a tomar el ejemplo de gavilla cohomology y grupo cohomology. Me pregunto por qué es conceptualmente importante saber que estas encajan en nLab del esquema general.

Para gavilla cohomology, el nLab enlaces a un papel de Kenneth Brown. Yo no tengo idea de lo que está pasando en este papel, pero parece teorema 2 en la página 247 es el resultado de la nLab está interesado en. De alguna manera, una vez que vemos esto a través de la lente de mayor categoría de la teoría, la gavilla cohomology es representable en la forma ordinaria cohomology es. Sin embargo, yo no puedo hacer cara o cruz de los detalles. ¿Cómo se hace exactamente Verdier del hypercovering resultado gavilla cohomology satisfacer nLab la definición?

Para el grupo cohomology, el nLab dice:

Por ejemplo, el grupo de cohomology no es nada, pero el cohomology en $H= \infty \operatorname{Grpd}$ on objects $X=BG$ que son deloopings de grupos.

En términos generales, ¿por qué esto es sólo la definición habitual de grupo cohomology? Hace que uno realmente necesita infinito categorías para entender esta correspondencia? Si es así, ¿dónde puedo encontrar una buena exposición de este tema?

Probablemente debería decir lo que mi fondo es, para evitar respuestas acamparon en un nivel demasiado alto. Yo sé lo que es enseñado en buena introductoria del programa de posgrado en topología algebraica y álgebra homológica y así sucesivamente, pero no mucho más. En particular, soy completamente ignorante de categorías superiores.

Edit: a la luz de la respuesta que obtuve a continuación, tal vez la mejor cosa a hacer es, ¿cuáles son las mejores referencias para aprender a hacer estas cosas?

Answer 1

Filosóficamente, ¿por qué es la definición que dan los de la derecha? Para mí, cohomology significa un functor de algunos de categoría a (más comúnmente) la categoría de abelian grupos, con la propiedad adicional de giro corto exacta de las secuencias en el tiempo exacto secuencias en cohomology.

Hay un montón de cosas que decir aquí, pero aquí tienes uno. Cuando usted piensa de cohomology como escupir un objeto más estructurada que una secuencia de abelian grupos (tales como un complejo de cadena, o un espectro), usted puede hacer más cosas con ese objeto. Por ejemplo, usted puede preguntar si ese objeto apoya aún más la estructura, tales como la multiplicación de algún tipo. Esto lleva a que el estudio de la dg de álgebras, o el anillo de los espectros. Usted necesidad de utilizar este lenguaje para describir, por ejemplo, el sentido preciso en el que la K-teoría es representable por un objeto que se parece a un anillo.

Para mí, el hecho de que cohomology es representable parece totalmente fortuita (homología no es, por ejemplo) y más como el final de la historia, más que el principio.

Cohomology es como tomar homs / Exts, mientras que la homología es como tomar tensor de productos y / o términos de referencia. La representabilidad es sólo una manera de reconocer que hay un objeto con más estructura vale la pena hablar, pero no es la única manera.

En términos generales, ¿por qué esto es sólo la definición habitual de grupo cohomology? Hace que uno realmente necesita infinito categorías para entender esta correspondencia?

Como un $\infty$-groupoid, $BG$ es el homotopy cociente de un punto por la acción de la $G$ (usted debe pensar en esta como una "derivada del cociente"). De ello se sigue que si $Y$ es de otro espacio, la asignación de espacio de $[BG, Y]$ es el homotopy puntos fijos de la trivial acción de $G$ $Y$ (usted debe pensar en esta como "derivados de los invariantes", que es una de las varias definiciones estándar de grupo cohomology). Usted puede decirle a un análogo de la historia para que no sea trivial coeficientes (al $Y$ está equipada con un trivial de acción de $G$).

En general hay una historia muy larga para contar aquí, que puede ser contada de partida en muchos lugares y la ramificación en muchas formas, y tal vez no vale la pena aprender de esta historia hasta que haya una razón en particular y por lo que puede concentrarse en los aspectos más relevantes para usted.

Vale la pena señalar que cuando el nLab dice cohomology que significan nonabelian cohomology, donde es más difícil encontrar tiempo exacto de secuencias. Largo exacto de las secuencias son más comúnmente encontrados en los "abelian" cohomology (con coeficientes en un grupo abelian, o más generalmente un espectro), donde hay algunas cosas adicionales que sucede. Así que, en cierto sentido, es engañoso pensar de largo exacto secuencias como la característica definitoria de cohomology. También hay una interesante superior categórica historia que contar aquí, sin embargo.

Answer 2

Usted puede ver una aproximación diferente a la frontera entre homología y homotopy en nuestro libro Nonabelian Topología Algebraica: filtrada espacios, cruzó complejos, cúbica homotopy groupoids (archivo pdf) (EMS Tracto vol 15, 2011). Este se inicia con la historia y la intuición. Uno de los principales intuición fue el uso de cubos para describir orden superior composiciones, que conduce a "algebraica inversos a la subdivisión" de una manera y con los usos difíciles de obtener por simplicial métodos.

El trabajo principal es en el establecimiento de la algebraicas material para obtener un mayor orden de Seifert-van Kampen Teoremas para algunos functors que dan colimit teoremas para mayor homotopy invariantes, y que conducen a muy concreta y precisa de los cálculos. También puede ser descrito como tratando de hacer más homotopy teoría de parecerse más a la de la fundamental, y así nonabelian (en este libro nonabelian hasta la dimensión 2).

También puede descargar algunas de las presentaciones de mi preprint página.

He trabajado un poco en el mediados de la década de 1960 en nonabelian cohomology en la dimensión 1, pero fue desactivada, cuando me enteré de que el trabajo con groupoids me dio mejores resultados; estos nos llevó finalmente a la estricta cúbica superior groupoids, definido en determinados espacios y con estructura. La última idea apenas se produce en la teoría y aplicaciones de la debilidad de la $\infty$-groupoids, pero en el formulario de filtrado de los espacios y de $n$-anuncios es parte de la tradicional homotopy teoría.

Ver este reciente stackexchange respuesta para algunas aplicaciones concretas en teoría de grupos, sólo se indica en el anterior libro.