Dejemos que $A \subset \ell^p$ , donde $1 \le p \lt \infty$ . Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones:
1) $A$ es cerrado y acotado
2) $\forall \epsilon \gt 0, \: \exists \: N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall x \in A$ tenemos $\sum_{n \ge N}|x_{n}|^{p} \lt \epsilon$ .
Entonces demuestre que $A$ es compacto. Demuestre también que lo contrario es cierto.
Respuesta
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Las propiedades 1) y 2) son bastante evidentes cuando $A$ es un conjunto finito. Por tanto, vemos que un conjunto compacto "se comporta casi como un conjunto finito". He aquí una prueba formal.
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Como $\ell^p$ está completo, $A$ se completa cuando se cierra. Así que sólo tenemos que demostrar la precompacidad. Fijar $\varepsilon>0$ y aplicar 2) con $\varepsilon/2$ . Esto da un número entero $N$ tal que para todo $x\in A$ , $\sum_{j\geq N}|x_j|^p<\varepsilon/2$ . Como $A$ está acotado, podemos encontrar $M>0$ tal que $\lVert x\rVert\leq M$ para todos $x\in A$ . Desde $[-M,M]^N$ es precompacto, podemos encontrar un número entero $K$ y secuencias $x^{(0)},\dots,x^{(K)}$ tal que para todo $v\in [-M,M]^n$ existe $i\in \{0,\dots,J\}$ tal que $\sum_{j=0}^{N-1}|v_j-x^{(i)}_j|^p\leq \frac{\varepsilon^p}{2^p}$ . Definir $y^{(j)}:=(y^{(j)}_0,\dots,y^{(j)}_{N_1},0,\ldots,0)\in \ell^p$ para ver que $A$ es precompacto.
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A la inversa, suponemos que $A$ compacto. Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado. Está acotado, como podemos extraer de la cubierta abierta $\{B(x,1)\}_{x\in A}$ una subcubierta finita $\{B(x,1)\}_{x\in F}$ , donde $F$ es finito. Entonces para todo $x\in A$ , $\lVert x\rVert\leq 1+\max_{y\in F}\lVert y\rVert$ . Fijar $\varepsilon>0$ entonces, por precompacidad, podemos encontrar un número entero $K$ y $x^{(1)},\dots,x^{(K)}$ tal que $\bigcup_{j=1}^KB(x^{(j)},\varepsilon/2)\supset A$ . Para cada $j\leq K$ , toma $N_j$ tal que $\sum_{i\geq N_j}|x_i^{(j)}|^p<\frac{\varepsilon^p}{2^p}$ . Entonces toma $N:=\max_{1\leq j\leq K}N_k$ .
