Mejor que el azar

Question

He estado tratando de resolver esta pregunta, pero en vano. Por favor, ayudar.

Se dan dos cajas con un número dentro de cada caja. Los dos números son diferentes, pero usted no tiene idea de lo que son. Elegir un cuadro para abrir, leer el número en su interior; y, a continuación, supongo que si el número en el otro cuadro es más grande o más pequeño. Usted gana si adivina correctamente, y perder lo contrario. Existe de todos modos que usted puede ganar el juego con más de un 50% de posibilidades de que no importa lo que los dos números son?

Answer 1

Como se ha señalado, la página de la wikipedia contiene información más que suficiente. Aquí mi respuesta, de todos modos:

Deje $X$ ser una r.v. con una distribución de su elección. La única cosa importante es que no da resultado positivo en el peso de cada uno (medibles) subconjunto de los reales. Por ejemplo, supongamos $X$ ser una variable normal estándar.

Vamos los dos números se $a$$b$,$a < b$. Comparar la realización de $X$ (independiente de su elección de $a$ o $b$) con el valor del primer número que ver. Si $X$ es mayor, de cambiar, de lo contrario, mantener el número.

La probabilidad de ganar puede ser calculada de la siguiente manera:

• Si usted elige $a$ ($\frac{1}{2}$de probabilidad), entonces usted gana si usted cambie, es decir, si $X > a$. Esto ha prob. $P(X>a)$.
• Del mismo modo, si usted elige $b$ ($\frac{1}{2}$de probabilidad), usted gana si no cambia, es decir, si $X \leq b$. Esto ha prob. $P(X\leq b)$.
• Así que la probabilidad total de ganar es $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}P(a < X \leq b)$, que es ligeramente mayor que 1/2 basado en nuestras suposiciones en $X$.

Answer 2

Hay una discusión detallada sobre este MO: http://mathoverflow.net/questions/9037. También hay una cuestión de matemáticas.SE en la Tarjeta de duplicación de la paradoja, pero esto es acerca de la expectativa de valores por duplicado las cantidades, no se trata de la probabilidad de adivinar correctamente. Y como Didier señaló en un comentario, hay una sección en el artículo de la Wikipedia sobre los dos sobres problema que aborda este como una extensión de eso.

Answer 3

Nota: nunca he oído hablar de esto antes, yo sólo soy el razonamiento a través de él, así que no te tomes mi respuesta ya la respuesta.

Este problema se define por su ambigüedad. Puede ser CUALQUIER número, ya sea en la caja, desde el infinito negativo hasta el infinito, con la misma distribución? No dice nada acerca de ella. De 0 a infinito? Sólo enteros?

Si es negativo infinito a infinito positivo (enteros o no) puede hacer mejor que el 50% sólo en un sentido trivial; Si ves -5.6 millones de dólares en la primera hay infinitos números en cualquier dirección, por lo que tiene un 50% de probabilidad de cualquier manera. Así que, no, usted no puede hacer mejor que el 50% de la distribución a partes iguales-negativo-infinito-a-positivo-infinito-asunción.

Si se conoce el intervalo discreto, que obviamente es fácil ser mejor que el 50%. Pero con cualquier gama infinita, no se puede hacer mejor que el 50%.

Nota: realmente estoy adivinando aquí que este problema se ha formado con este pensamiento: Si el rango es de 0 a infinito, entonces cualquier número finito me pongo en el primer cuadro tiene un número finito de números menores que él, y un infinito más grande; por lo tanto, siempre debería recoger más grande y yo estoy en lo correcto que un número que se aproxima (pero no exactamente igual) 100%. Esta es una conclusión absurda, ya que implica que no importa de que cuadro cojo la primera, siempre tendrá el número más pequeño, cuando el hecho es que esto sólo ocurre en el 50% del tiempo.

No ser un matemático, mi conjetura es que la simple suposición de que conduce a esta contradicción es lo que el comentario que a continuación se señala: toda La idea de una distribución uniforme a través de un conjunto infinito es imposible.

Así que, ¿qué dice esto acerca de la pregunta? Así, sólo que en realidad no tiene sentido con una gama infinita, y es terriblemente simple con una gama limitada.

Answer 4

Si conoce la distribución de números aleatorios, por ejemplo, si usted sabe que los números vienen al azar a partir de un intervalo (0,L) de números reales, entonces su probabilidad de ganar es

2/3, o aproximadamente el 66% de los ensayos, de utilizar el mismo azar de la base de la decisión, y

3/4, por lo que el 75% de los ensayos, si se utiliza la mediana de la distribución

Para ver el primero, escoja un tercer número aleatorio de la misma distribución. Entonces la probabilidad de que este número sea entre los otros dos es de 1/3, como se puede comprobar a partir de las seis de igual permutaciones posibles, y en este caso la estrategia de siempre selecciona la respuesta correcta. Si el número es mayor y la menor que ambos cuadros, todavía 1/2 de probabilidad de adivinar al azar, para el total de prob es 1/3 + 2/3 * 1/2 = 2/3

Para comprobar esto, usted puede intentar el siguiente programa en Python:

from random import random
trials, winrandom, winmethod=0,0.0,0.0

while trials < 10000:
   abox=random()
   bbox=random()
   print abox,bbox
   trials +=1
   choose = "a" if random() < 0.5 else "b"
   if choose=="a" and abox > bbox: winrandom +=1
   if choose=="b" and bbox > abox: winrandom +=1
   decide = "a" if random() < abox else "b"
   if decide=="a" and abox > bbox: winmethod +=1
   if decide=="b" and bbox > abox: winmethod +=1
   print trials, winrandom/trials, winmethod / trials

De forma genérica, si usted usa una diferente distribución de probabilidad, el total de la prob todavía está dada por la fórmula que ofrecen en el resto de soluciones, $ p+ {1\over 2} (1-p)$ o $${1\over 2} + {1\over 2} p $$
con $p$ la probabilidad de que el número aleatorio entre las dos cajas. Tenga en cuenta que algunas de las fórmulas de combinar esta $p$ con la de la primera casilla de ser más pequeño que el segundo, para ocultar el 1/2 factor.

Una distribución concentrada en la mediana de la original, es una mejor estrategia, porque el problema de la mediana entre los dos números es de 0,5, y así el ganador de la prob eleva hasta el 75%.