¿Existe una matriz "cúbica"?

Question

Bueno, he oído que existe una matriz "cúbica" y pensé: ¿será como un cubo mágico? Y más: ¿incluso tiene determinante y otras propiedades? Soy un joven estudiante, así que... por favor no se enoje si estoy diciendo algo tonto.

Gracias.

P.D. Tengo 14 años. No sé mucho sobre matemáticas, pero juro que intentaré entender sus respuestas. Solo conozco lo básico sobre Precálculo.

Answer 1

Si estamos trabajando con vectores tridimensionales, una matriz es un arreglo de $3\times 3$ de 9 números. Si estoy entendiendo bien tu pregunta, estás preguntando si hay algo como un arreglo de $3\times 3\times 3$ de 27 números con propiedades interesantes.

Sí, existe tal cosa; se llama un tensor. Los tensores son una generalización tanto de vectores como de matrices:

• Un número es un tensor de rango 0.
• Un vector es un tensor de rango 1; contiene $D$ números cuando trabajamos en $D$ dimensiones.
• Una matriz es un tensor de rango 2, conteniendo $D\times D$ números.
• Tu "cosa cúbica" es un tensor de rango 3, conteniendo $D\times D\times D$ números.

... y así sucesivamente.

Una utilidad para un tensor de rango 3 es si deseas expresar una función que toma dos vectores y produce un tercer vector, con la propiedad de que si mantienes constante uno de los argumentos, la salida es una función lineal del otro input. (Es decir, un mapeo bilineal de dos vectores a uno). Un ejemplo familiar de tal función es el producto cruz. Para especificar completamente algo así necesitas 27 números, es decir, las 3 coordenadas de cada uno de $f(e_1,e_1)$, $f(e_1,e_2)$, $f(e_1,e_3)$, $f(e_2,e_1)$, etc. Usando la linealidad a la izquierda y a la derecha, esto es suficiente para determinar la salida para cualquier par de vectores de entrada.

No he escuchado de ninguna generalización de determinantes a tensores de rango superior, pero no puedo pensar de inmediato una razón fundada por la cual no podría existir.

El estudio de tensores pertenece al campo de la álgebra multilineal. Es bastante posible obtener al menos un título universitario en matemáticas sin nunca haber oído hablar de ellos. Si estudias física, verás un montón de ellos, sin embargo.

Answer 2

Además de la respuesta canónica que implica tensores y álgebra multilineal, también hay un enfoque donde la noción de determinante como condición de solución para un sistema de ecuaciones se generaliza a algunas situaciones de mayor dimensión. La referencia básica para este programa (o una forma de él) es el libro de Gelfand, Kapranov y Zelevinsky del cual la introducción y los capítulos anteriores son relativamente accesibles:

http://books.google.com/books?id=2zgxQVU1hFAC

Answer 3

Las matrices son como tablas, con elementos $A_{m,n}$, con operaciones de suma y multiplicación $(A+B)_{mn} = A_{mn}+B_{mn}$ y $(A \cdot B)_{mn} = \sum_k A_{mk} B_{kn}$.

Las matrices cúbicas tienen tres índices $A_{mnk}$, y $(A+B)_{mnk} = A_{mnk}+B_{mnk}$ y $(A \cdot B \cdot C)_{m n k} = \sum_{\ell} A_{m n \ell} B_{m \ell k} C_{\ell n k}$.

Ver arXiv:hep-th/0207054v3 para una idea de aplicaciones.

Answer 4

La respuesta es sí. Hay muchos lugares en matemáticas donde sería útil 'almacenar' números/o lo que sea en una rejilla tridimensional. Ese no es el problema. Es usarlos en un contexto y definir las operaciones correctas que tengan sentido para que puedas combinar cosas y hacer algún álgebra abstracta.

Para un ejemplo específico, comienza con algo concreto. Considera transformaciones lineales en el plano, es decir $\mathbb{R}^2$, usando vectores $\imath = [1,0]$ y $\jmath = [0,1]$ Una transformación lineal del plano al plano puede ser representada por una matriz 2 por 2. Una vez que esto se entienda bien, considera una función de dos variables vectoriales (de nuevo, al plano), como $L(v_1,v_2) = w$ donde $L$ es lineal en ambas variables. Esto significa que si sustituyes un vector para ya sea $v_1$ o $v_2$, obtienes una transformación lineal (similarmente a cuando tomas la derivada de una función a lo largo de una variable). Un ejemplo podría ser: $L([a_1,b_1],[a_2,b_2]) = (3a_1b_1 -5a_1b_2)[2,1] + b_2b_1[1,5]$

Ahora tienes algunos coeficientes involucrados:

$f(\imath,0) = a\imath + b\jmath$

$f(\jmath,0) = c\imath + d\jmath$

$f(0,\imath) = e\imath + f\jmath$

$f(0,\jmath) = g\imath + h\jmath$.

Observa que tienes ocho números a través de h aquí que completan la descripción de $L$. Además, nota que podrías organizar y etiquetar estos coeficientes de manera más sensata (¿cómo, y qué son estos números dados este ejemplo?). Esencialmente, el espacio de entradas es de 4 dimensiones, pero no los piensas como cuatro en una fila o columna, sino como cuatro dispuestos en un cuadrado. Y luego hay dos opciones para los coeficientes en la salida, uno para $\imath$ y otro para $\jmath$.

Ahora estos ocho números encajan naturalmente en un cubo, y son esencialmente la matriz de $L$, llamada un tensor

Answer 5

Abordo la pregunta desde el punto de vista de un programador de computadoras.

La mayoría de los lenguajes de programación tienen construcciones de array. Un array es una secuencia ordenada de elementos, donde cada elemento puede ser un número (entero o real) u otra cosa. También puedes tener arrays multidimensionales; dependiendo del lenguaje de programación, pueden ser simplemente arrays de arrays, o pueden ser una estructura distinta.

Desde ese punto de vista, la respuesta es sí, por supuesto que puedes tener matrices cúbicas. En C, por ejemplo, podrías declarar:

float number;                /* solo un número */
float vector[3];             /* un vector de 3 números */
float matrix[3][3];          /* una matriz de 3 por 3, 9 números */
float cubic_matrix[3][3][3]; /* una matriz cúbica de 3 por 3 por 3, 27 números */

o incluso:

float big_matrix[3][4][6][42][5][2]; /* una matriz de 6 dimensiones con dimensiones desiguales */

En matemáticas, y en menor medida en programación, si puedes describir algo, puedes decir razonablemente que existe.

Y puedes definir las operaciones que quieras en estas cosas.

La pregunta más interesante (que otros pueden responder mejor que yo) es si tales cosas, y las operaciones en ellas, son matemática y/o físicamente significativas.