Voy a reformular sus preguntas, la forma en que los entiendo. Espero que esto sea razonablemente correcta interpretación.
1 - pregunta: ¿cómo se puede saber con sólo mirar que la categoría de teoría (CT) (una teoría con una simple firma y algunos simples axiomas, en sus palabras) es más poderoso que dicen teoría de grupo o.....
Respuesta: tomar CT axiomas (por ex. Aquí) y tomar monoid teoría (MT) axiomas (por ex. Aquí). Puede ver casi de inmediato que la MT es un caso especial de CT donde todas las identidades son el mismo. También se puede ver que groupoid teoría (GdT) es un caso especial de CT cuando usted asume que todas las flechas son invertible. Desde la teoría de grupos (GT) es un caso especial de MT o GdT ya se ve que:
La TC es más general (por lo tanto probablemente más potente) de MT, GdT o GT. Eso no es malo, teniendo en cuenta que todo esto puede ser visto casi de inmediato.
Si usted se especializa CT es más complicado de maneras que usted puede probar que el resultado de la teoría es un modelo para (sabor) de la teoría de conjuntos. Y así sucesivamente con los Anillos, espacios topológicos, ect.
Así que podemos decir que el simple axiomas de la CT puede ser aumentada para obtener muchos otros anteriormente conocido estructuras matemáticas.
CT - como se definió anteriormente - se ha generalizado aún más con categorías superiores, así que yo no diría que es único en cualquier (permanente) sentido. Tal vez en el futuro vamos abstracto aún más con alguna otra teoría, quién sabe. En el momento en que Categoría de las teorías están en la vanguardia de la generalidad y la abstracción. Eso es todo lo que podemos decir.
2 - pregunta: propiedades Universales (ARRIBA) son expresiones lógicas expresable en el lenguaje de la CT. Podemos adivinar mirando su estructura formal que van a ser un concepto fundamental en el TC?
Respuesta: yo no creo que esto es posible por el momento. Podemos alimentar a un equipo con una teoría y una instrucción y pregunte si la afirmación es verdadera o no (un Teorema). Pero no podemos decidir por sólo mirar a la estructura de la declaración - si va a ser muy útil o sólo moderadamente útil en el futuro desarrollo de la teoría. Esto sólo puede ser decidido ex-post. En el caso de la UP, que no son ni siquiera los teoremas, sólo propiedades (definiciones, básicamente), que puede o no puede aplicar a una categoría específica/functor.
Resultan ser conceptos fundamentales por el hecho de que parecen estar satisfechos por muchas categorías importantes/functors. Ex-post, por desgracia.
Samuel definido en 1948 y Kan pasó con adjoints en 1958. La TC fue fundada en 1942. Así y adjoints no eran cosas obvias.
3 - pregunta: ¿por Qué no es capaz de definir comparable abstractas y conceptos útiles en la parte superior de grupos, conjuntos, y así sucesivamente?
Respuesta: incluso el más abstracto de la construcción en la teoría de grupos es algo que se aplica a los grupos (y algunos derivados de conjunto o un anillo, o...). Nunca será automáticamente aplicables en una configuración de grupo (topológicas de los espacios que no son los grupos, por ejemplo).
Conclusión.
Parece que mucho axiomática de las matemáticas ha sido desarrollado por "ingeniería inversa". Usted tomarle algunas teorema (de Pitágoras teorema de ex. ) y se trabaja hacia atrás para encontrar los axiomas tales que el teorema se puede deducir de ellas. Esto al parecer lo que Euclides hizo. Tal vez HASTA se inventaron esa manera. Básica CT axiomas sin duda se desarrollaron de esa manera.
hth
