Flechas de implicación y equivalencia, ¿cuándo usarlas?

Question

En mi libro de curso tenemos algo llamado flechas de implicación $\Rightarrow$ y flechas de equivalencia $\Leftrightarrow$ y nunca he logrado entenderlas.

¿Cuándo sé cuál usar y cómo sé que estoy en lo correcto al usarlas?

Answer 1

$A \Rightarrow B$ tiene el significado de que $B$ se deduce de $A$, pero esto no necesariamente funciona en la otra dirección. Por ejemplo, a partir de $x = 13$, se deduce que $x$ es primo. Pero no se puede argumentar en sentido contrario. Entonces, si $\mathbb P$ es el conjunto de números primos, puedes escribir $x = 13 \Rightarrow x\in\mathbb P$, pero no $x\in\mathbb P\Rightarrow x=13.

$A\Leftrightarrow B$ tiene el significado de que $A$ y $B$ son la misma declaración, solo transformadas. Si $A\Leftrightarrow B$, entonces tanto $A\Rightarrow B$ como $B\Rightarrow A.$ Por ejemplo, considera un entero $x$. Puedes decir que si $x$ es par, entonces $x$ no es impar. Esto ciertamente también funciona en la otra dirección, por lo que puedes escribir $\mathrm{even}(x)\Leftrightarrow\lnot\;\mathrm{odd}(x).

Answer 2

Suponga que tiene dos proposiciones $P$ y $Q$.

• $P\Rightarrow Q$ significa que $P$ implica $Q$ (o si $P$, entonces $Q$).
• $P\Leftrightarrow Q$ significa que $P$ implica $Q$ y $Q$ implica $P$ (o $P$ si y solo si $Q$).

Permítame agregar algunos ejemplos simples.

1. Dado que $\frac{2p}{2q}=\frac{p}{q}$ ($q\ne 0$) podemos escribir $$\frac{2p}{2q}=5\Leftrightarrow \frac{p}{q}=5.\qquad (1)$$

   Su significado es que $\frac{2p}{2q}=5$ es verdadero si y solo si $\frac{p}{q}=5$.

2. a) Si tienes $y=x$, entonces puedes decir que $y^2=x^2$ y escribir $$y=x\Rightarrow y^2=x^2.\qquad (2)$$

   Su significado es que si $y=x$ es verdadero, entonces también lo es $y^2=x^2.$

   b) Si tienes $y=-x$, entonces puedes decir que $y^2=x^2$ y escribir

   $$y=-x\Rightarrow y^2=x^2.\qquad (3)$$

   Su significado es que si $y=-x$ es verdadero, entonces también lo es $y^2=x^2.$

   c) Si sabes que $y^2=x^2$ puedes asegurar que $y=x$ o $y=-x$ y escribir

   $$y^2=x^2\Rightarrow y=x\quad \text{o}\quad y=-x.\qquad (4)$$

   Su significado es que si $y^2=x^2$, entonces $y=x$ o $y=-x$.

   d) Combinando $(2),(3)$ y $(4)$ tienes la siguiente equivalencia

   $$y^2=x^2\Leftrightarrow y=x\quad \text{o}\quad y=-x.\qquad (5)$$

   Su significado es que $y^2=x^2$ si y solo si $y=x\quad \text{o}\quad y=-x$.

Answer 3

Hay una sutileza significativa sobre $A \Rightarrow B$ que es útil aclarar desde el principio y que ha sido tema de otros hilos. Se basa en el uso de la implicación en lógica.

Es que $A \Rightarrow B$ se toma como Verdadero excepto en el caso de que A sea Verdadero y B sea Falso.

Expresado de esa manera puede parecer obvio, pero eso significa que si A es falso, entonces la implicación se considera verdadera ya sea que B sea verdadero o falso. Esta es una convención, que a veces puede parecer contraintuitiva, pero que es muy útil (por eso la convención es como es). Intuitivamente, la convención codifica el hecho de que si A es falso, la implicación no nos dice nada sobre B.

Answer 4

Bueno, según sé, el $\Rightarrow$ que llamas la flecha de implicación se puede usar para implicar afirmaciones.

• Ejemplo: $x^{2}-1 = 0 \Rightarrow (x+1)(x-1)=0$.

La segunda flecha, $\Leftrightarrow$, la he visto a menudo usarse para afirmaciones si y solo si. Es decir, $A \Leftrightarrow B$, significa que si asumes $A$, entonces $B$ es verdadero y si asumes $B$, entonces $A$ debería ser verdadero (o se puede deducir).

Answer 5

Encuentro la implicación de la implicación lógica realmente interesante. Comenzando con las tablas de verdad para ambas, nota solo una sutil diferencia:

+---+---+-------+
| P | Q | P ⇒ Q |    
+---+---+-------+
| T | T |     T |
| T | F |     F |
| F | T |     T |
| F | F |     T |
+---+---+-------+

+---+---+-------+
| P | Q | P ⇔ Q |    
+---+---+-------+
| T | T |     T |
| T | F |     F |
| F | T |     F |
| F | F |     T |
+---+---+-------+

Existe una idea equivocada común de que P ⇒ Q significa que si P es verdad, Q es verdad. Lo que muestra la tabla de verdad es que P ⇒ Q siempre es verdadero cuando P es falso, lo cual creo que tiene implicaciones profundamente interesantes.

De cierta manera, la tabla de verdad es simplemente una versión formal del viejo cliché informático "entradas basura, salidas basura": P en realidad no nos dice nada acerca de Q.

Q, por otro lado, si sabemos que es falso, nos dice si P es verdadero o no siempre que sepamos si P ⇒ Q es verdadero o falso. Pero si Q es verdadero, no nos da ninguna pista sobre si P es verdadero o falso.

Es una lección que solo podemos avanzar en el conocimiento trabajando desde conclusiones incorrectas conocidas. No hay forma de relacionar conclusiones correctas conocidas con lo que pensamos que las causa con certeza lógica.

Esto puede parecer obvio para abogados y detectives, pero es muy contraintuitivo para nosotros los programadores de computadoras que pensamos en P como un patrón a ser coincidente por una declaración if, y Q como la acción resultante.

Mi opinión es que la implicación lógica se manifiesta en otros campos como en el viejo cliché estadístico "correlación no implica causalidad" y en el método científico de falsabilidad de Karl Popper. Pero nunca realmente he visto esto articulado en algún lugar.

A través de la deducción podemos reducir la elección de posibles causas, Ps, para un dado Q hasta que la respuesta parezca obvia, pero aún así nunca es 100% seguro.

La implicación lógica fomenta una mente abierta que recuerda “hay más cosas en el cielo y en la tierra, Horacio, de las que sueña tu filosofía”. Muchos fanáticos por ahí podrían haber sido curados si nuestro sistema educativo básico enseñara la implicación lógica a temprana edad.