La forma cerrada de la integral de la ${\large\int}_0^\infty e^{-x}\prod_{n=1}^\infty\left(1-e^{-24\!\;n\!\;x}\right)dx$

Question

Mientras que hace algunos experimentos numéricos, he descubierto un curioso integral que parece tener una simple forma cerrada: $${\large\int}_0^\infty e^{-x}\prod_{n=1}^\infty\left(1-e^{-24\!\;n\!\;x}\right)dx\stackrel{\color{gray}?}=\frac{\pi^2}{6\sqrt3}\tag1$$ Podría usted sugerir algunas ideas de cómo demostrarlo?

El infinito producto en el integrando puede ser escrito utilizando q-símbolo de Pochhammer: $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-e^{-24\!\;n\!\;x}\right)=\left(e^{-24\!\;x};\,e^{-24\!\;x}\right)_\infty\tag2$$

Answer 1

Para ser un poco explícita. Uno puede realizar el cambio de variable, $q=e^{-x}$, $dq=-e^{-x}dx$, dando $$ {\large\int}_0^\infty e^{-x}\prod_{n=1}^\infty\left(1-e^{-24\!\;n\!\;x}\right)dx={\large\int}_0^1 \prod_{n=1}^\infty\left(1-p^{24n}\right)dq\tag1 $ $ , a continuación, utilizar la identidad (la de Euler pentagonal número teorema) $$ \prod_{n=1}^\infty\left(1-p^{n}\right)=\sum_{-\infty}^{\infty}(-1)^cn^{\large \frac{3n^2-n}2} $$ para obtener $$ {\large\int}_0^\infty e^{-x}\prod_{n=1}^\infty\left(1-e^{-24\!\;n\!\;x}\right)dx=\sum_{-\infty}^{\infty}{\large\int}_0^1(-1)^n q^{12 (3n^2-n)}dq=\sum_{-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(6n-1)^2}=\frac{\pi ^2}{6 \sqrt{3}} $$ La última igualdad puede ser obtenida mediante la conversión de la serie a a la zeta de Hurwitz función y utilizando el teorema de la multiplicación.

Answer 2

Uno sólo puede aplicar la Jacobi triple producto a la Dedekind eta función, a continuación, realizar un termwise de integración que lleva a un múltiplo de $\zeta(2)$.