La desigualdad. Regional de la olimpiada 2015

Question

Deje $a, b, c$ - los números reales positivos, y $ab+bc+ca=1$ Demostrar que $\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}} \geqslant 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Probablemente, deberíamos usar estos hechos:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{abc}$

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2$

Pero no sé cómo usarlos. Por favor, ayudar.

Answer 1

Tenemos $$ \sum_{cyc} \sqrt{a+\frac{1}{a}}=\sum_{cyc} \sqrt{a+\frac{ab+bc+ca}{a}}=\sum_{cyc} \sqrt{a+\frac{bc}{a}+b+c}\ge\sum_{cyc} \sqrt{2\sqrt{bc}+b+c}=\sum_{cyc} \sqrt{\left(\sqrt b+\sqrt c\right)^2}=\sum_{cyc} \left(\sqrt b+\sqrt c\right)=2\left(\sqrt un+\sqrt b+\sqrt c\right) $$ como se desee.

Nota: La desigualdad es debido a la conocida desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica, la cual establece que: $$ \frac{a_1+...+a_n}{n}\ge\left(a_1\cdots a_n\right)^\frac{1}{n} $$ Tomando $n=2$, $a_1=a$ y $a_2=\frac{bc}{a}$ de esta producción: $$ \frac{a+\frac{bc}{a}}{2}\ge\left (\cdot\frac{bc}{a}\right)^\frac12=\sqrt{bc}\iff un+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{bc} $$ Este es, como se muestra arriba, lo suficiente para demostrar su desigualdad.

Answer 2

Por Cauchy-Schwarz tenemos $$ \sqrt{a + \frac{1}{a}} = \sqrt{a + b + c + \frac{bc}{a}} \geq \frac{1}{2}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{b} + \sqrt{\frac{bc}{a}}\right) $$ y del mismo modo $$ \sqrt{b + \frac{1}{b}} \geq \frac{1}{2}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{b} + \sqrt{\frac{ca}{b}}\right) $$ y $$ \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geq \frac{1}{2}\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{b} + \sqrt{\frac{ab}{c}}\right). $$ Así $$ \sqrt{a + \frac{1}{a}} + \sqrt{b + \frac{1}{b}} + \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geq \frac{1}{2}\left(3\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}\right) + \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{b}\sqrt{c}}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{c}\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \right) \geq 2\left(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}\right). $$