La pregunta es:
Demostrar que $$ P(z) = z^4 + 2z^3 + 3z^2 + z +2$$ tiene exactamente una raíz en cada cuadrante del plano complejo.
Mi idea inicial era usar el Teorema de Rouche (ya que es lo que generalmente uso para encontrar cuántas raíces tiene un polinomio complejo), pero cuanto más lo pienso, más no estoy seguro de cómo hacerlo funcionar. Aquí está mi intento:
En primer lugar, elige un radio para un círculo que pueda abarcar las cuatro raíces del polinomio. Por simplicidad (en mi opinión), elegí |z| = 5.
Configuración $$f(z) = z^4$$ y $$g(z) = 2z^3 + 3z^2 + z + 2$$
Obtengo que |f(z)| = 625 y |g(z)| = 332, así que por el Teorema de Rouche tenemos cuatro raíces en el disco.
He pensado que podría separar los cuadrantes dividiendo el círculo en cuartos de círculo (como cuatro trozos de tarta) y aplicando de nuevo el Teorema de Rouche en cada uno de estos nuevos dominios. Sin embargo, encontrar el lugar de la frontera donde el valor alcanza su máximo para alguna f(z) o g(z) sería complicado (en el mejor de los casos), ya que si utilizo |z| = 5, vuelvo al punto de partida. También está el problema de que estos ceros pueden ocurrir en el límite, por lo que en el eje real / imaginario, que no sería lo que estoy tratando de mostrar. Así que ahora, sólo estoy atascado, así que si alguien puede ver cómo abordar esto, sería muy apreciado.
