Un cero-dimensional espacio de Hausdorff es totalmente desconectados

Question

La pregunta completa: Un espacio es cero-dimensional si el clopen subconjuntos de formar una base para la topología. Mostrar que un cero-dimensional espacio de Hausdorff es totalmente desconectados. Recordemos que un espacio está totalmente desconectado si el único conectado subconjuntos son los únicos (de un punto de subconjuntos).

Sea X = {X1, X2, ...} el conjunto de clopen subconjuntos del espacio. Sabemos que X es una base para la topología T, por lo que cualquier conjunto abierto en T se puede escribir como una unión o intersección finita de elementos en X.

En un espacio topológico, sabemos que la unión/intersección finita de abiertos establece también están abiertas (por definición) y de la unión/intersección finita de conjuntos cerrados son cerrados, por lo que cualquier unión finita de la intersección de clopen establece también es clopen.

Puesto que X es una base, entonces cualquier conjunto abierto en T también está cerrada, ya que será la unión finita de la intersección de clopen conjuntos. ¿Significa esto que nuestro espacio es discreto? Si es discreto, entonces la única conectado subconjuntos son los únicos y, a continuación, nuestro espacio está totalmente desconectado.

Tengo una fuerte sensación de que me he ido en círculos y mi argumento es incorrecta (especialmente la parte diferenciada...) se agradece Cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos $X$ es un cero dimensional espacio de Hausdorff, y $\mathcal{B}$ un clopen base para la misma.

Supongamos $A$ es un conjunto que contiene los puntos de $x$$y$. Si son distintos, podemos encontrar un conjunto abierto que contiene a $x$ que no contengan $y$, de ahí que podamos encontrar una base de elemento $B \in \mathcal{B}$ contiene $x$ pero no $y$. Los conjuntos de $A\cap B$ $A\cap B^c$ están abiertos en $A$ y discontinuo, y su unión es $A$, por lo tanto $A$ está desconectado.

Así, el espacio no necesita ni siquiera ser Hausdorff - la $T_1$ axioma es suficiente.

Answer 2

No estoy muy seguro de donde estaban tratando de conseguir con su sugirió argumento. Pero he aquí un posible esquema para una solución.

Deje $X$ ser un cero-dimensional espacio de Hausdorff, y deje $B$ ser un clopen base. Ahora supongamos que $C\subseteq X$ es un conjunto conectado, vamos a mostrar que $C$ es un singleton.

Supongamos que $x\in C$, entonces no es un clopen entorno de $U$$x$. A la conclusión de que $U\cap C$ es a la vez abierto y cerrado relativo a $C$, y, por lo tanto, $C$ es un singleton, o que $C$ no está conectado el cual es una contradicción.