Rango de las funciones trigonométricas

Question

Me gustaría saber si hay un método sencillo para encontrar el rango de funciones de la forma: $$\sin x\sin2x$$ $$\cos x\cos3x$$ $$\sin 2x\cos 4x$$

Por ejemplo, calcula el rango de una función en la forma: $$a\cos\theta + b\sin\theta$$ is simple (the minimum value is $-\sqrt{a^2 + b^2}$ while the maximum value is $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Answer 1

Es más interesante cuando no es la obvia límite superior $1$. Voy a tomar el ejemplo de $\sin 3x \cos 5 x$. No alcance el valor de $1$, así que tenemos algo de trabajo que hacer. Vamos a encontrar una forma implícita de la ecuación para la curva de $C \colon \{(\sin(3t), \cos (5t))\ \mid \ t\in [0, 2 \pi]\}$ ( http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve). La omisión de algunos detalles, es la curva con ecuación $$-1 + 25 x^2 - 200 x^4 + 560 x^6 - 640 x^8 + 256 x^{10} + 9 y^2 - 24 y^4 + 16 y^6=0$$

Tiene que ver con los polinomios de Chebyshev. De hecho, un punto de $(x,y)$ $\mathbb{R}^2$ es de la forma $(\sin (3t), \cos(5t))$ si y sólo si $1 = P(x) + Q(y)$ donde$P(\sin( \alpha))= \sin^2 (5 \alpha)$$Q(\cos(\beta)) = \cos^2(3 \beta)$. (sólo si está claro, ya que $\sin^2(15 t) + \cos^2(15 t) = 1$). Así que no es tan difícil de conseguir a la forma implícita de la curva de $C$.

Así que ahora tenemos que encontrar

$$\max x y \ \text{ donde }\ -1 + 25 x^2 - 200 x^4 + 560 x^6 - 640 x^8 + 256 x^{10} + 9 y^2 - 24 y^4 + 16 y^6=0$$

Omitimos los cálculos usando multiplicadores de Lagrange. Resulta que el máximo de $M$ es el más grande de la raíz de la ecuación $$1073741824\, t^8-1644167168\, t^6+656998400\, t^4-52537500 \,t^2+84375=0$$ $M= 0.96410...$

Bueno, al menos ajuste del multiplicador de Lagrange del problema en general no es tan difícil. Su solución es una cosa diferente.

Es que no me queda claro si un general de la fórmula fácil para este máximo existe para general $m$, $n$ para $\max \sin(m t) \cos (n t )$. Tal vez un método general, no una fórmula general que es fácil de aplicar.

Alternativamente, se escribe

$$\sin 3t \cos 5 t = \frac{1}{2}( \sin 8t - \sin 2t)$$

Reducir a un problema equivalente: maximizar $ \sin 4u - \sin u$. Incluso esto no es tan sencillo. Ciertamente, la derivada es fácil de calcular, pero el valor máximo es de nuevo la solución de una ecuación de grado $8$. Quizás la ventaja es que uno puede encontrar la solución de los gráficos de $\sin u$, $\sin 4u$.

$\bf{Added:}$. Si uno busca el valor máximo de $\sin mt \cos nt$, es suficiente para considerar el caso de $m,n$ relativamente primos. Entonces, aunque el valor máximo no es $1$, acercarse a uno con el aumento de $\max (m,n)$. Es intuitivo ya que las curvas de Lissajous tienden a llenar la plaza. Sería interesante investigar cómo cerrar a $1$ uno se pone como $\max(m,n) \to \infty$. Parece que la teoría de los números, más precisamente - racional aproximación, parece.

Answer 2

no sé si es esto lo que usted está buscando.

tomemos, por ejemplo, la fitst función de $y = f(x) = \sin x \sin 2x.$ producto de dos funciones periódicas de los períodos de $\pi$ $2\pi.$ por lo que el producto es $\pi$-periódico. usted puede pensar $y = \sin x \sin 2x = A\sin 2x $ cuando la amplitud de la $A = \sin x$ no es constante, sino que varía suavemente en comparación con el más rápido variación $\sin 2x$, de hecho, la gráfica de $f(x)$ está entre los sobres $y = \pm \sin x$ verá el máximo local de $f$ un poco a la derecha de $\pi/4,$ máximo local de $\sin 2x$ y el local min un poco a la izquierda de $3\pi/4,$ locales min de $\sin 2x.$

todo esto será mucho más claro si se puede esbozar las gráficas de $y = f(x), y = \pm \sin x.$

Answer 3

Siempre hemos $ a^2\leq a^2+b^2\ \Rightarrow\ |a|\leq\sqrt{a^2+b^2} \Rightarrow \frac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1\Rightarrow-1\leq\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq1$, por lo que existe un $\alpha $ que $ \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Además, Nosotros sabemos que $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\sqrt{1-(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2}=\pm\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Ahora vamos a ser$y=a cos \theta+b\sin \theta $$\frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \theta=\cos\alpha\sin \theta\pm\sin\alpha\cos \theta=\sin (\theta\pm\alpha)$. Porque de $-1\leq\sin (\theta\pm\alpha)\leq 1$$-1\leq\frac{y}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1$. Por lo tanto $-\sqrt{a^2+b^2}\leq a\cos \theta+b\sin \theta\leq \sqrt{a^2+b^2}$.