$A_{mn} = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}d\theta\, \sin(2m\theta)\, \frac{1-\cos^{2n}(\theta)}{\tan(\theta)} = $ ? $m$, $n$ enteros > 0

Question

La integral $$ A_{mn} = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}d\theta\, \sin(2m\theta)\, \frac{1-\cos^{2n}(\theta)}{\tan(\theta)} $$ apareció cuando yo estaba jugando con la representación integral de la armónica de los números de $H_n$.

Me parece que Mathematica puede dar un resultado para valores específicos de $m$ $n$ pero no puedo obtener una fórmula general. Algunas observaciones que parecen ser verdadera, basada en Mathematica resultados para casos específicos:

1) $A_{mn} > 0$.

2) Cuando $m = n$, $A_{nn} = \frac{1}{4^n}$.

3) Cuando $m > n$, $A_{mn} = 0$. (Creo que debería seguir a partir de la expansión de la $\cos^{2n}(\theta)$ parte en una suma finita de términos como " $\sin$ o $\cos$ de los enteros veces $\theta$.)

He intentado hacer esto a través de contorno de integración mediante la extensión de la integral (que es simétrica alrededor de $\pi$)$[0,2\pi)$, y haciendo la sustitución de $z = e^{i\theta}$. A menos de que he cometido un error, esto conduce a: $$ A_{mn} = \frac{1}{2\pi i}\cualquier dz\, \frac{\left(z^{2m} z^{-2m}\right)\left(z+z^{-1}\right)\left[1 - \frac{1}{2^{2n}}{\left(z + z^{-1}\right)}^{2n}\right]}{z^2 - 1}\, , $$ donde la integral es sobre el sentido antihorario círculo unidad. Esto no parece funcionar: Los ceros aparecen a cancelar en la parte superior y la parte inferior en $z = \pm 1$, por lo que los residuos son cero.

He cometido un error en el contorno enfoque de integración? Hay una mejor manera de evaluar todo esto?

Answer 1

El uso de las identidades $$\frac{\sin (2m \theta)}{\sin (\theta)} = 2 \sum_{k=0}^{m-1} \cos[(2k+1)\theta]$$

y

$$\cos^{2n+1}(\theta) = \frac{1}{4^{n}}\sum_{j=0}^{n} \binom{2n+1}{j} \cos [2n+1-2j)\theta], $$ obtenemos

$$ \begin{align} A_{mn} &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 m \theta)}{\sin (\theta)}\left(\cos (\theta) - \cos^{2n+1}(\theta) \right) \, d \theta \\ &= \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{m-1} \int_{0}^{\pi} \cos[(2k+1)\theta] \cos(\theta) \, d \theta \\ &- \frac{2}{\pi} \, \frac{1}{4^{n}}\sum_{k=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n} \binom{2n+1}{j}\int_{0}^{\pi} \cos[(2k+1)\theta ] \cos[(2n+1-2j) \theta] \, d \theta. \end{align} $$

La primera asume que el $m <n$.

A continuación, utilizando el hecho de que

$$ \int_{0}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \begin{cases} \frac{\pi}{2} & m = n \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$ obtenemos

$$A_{mn} = \frac{2}{\pi} \left(\frac{\pi}{2} \right) - \frac{2}{\pi} \, \frac{1}{4^{n}} \sum_{j=n-m+1}^{n} \binom{2n+1}{j} \frac{\pi}{2} = 1 - \frac{1}{4^{n}} \sum_{j=n-m+1}^{n} \binom{2n+1}{j}. $$

Ahora si $m> n$, luego

$$ A_{mn} = \frac{2}{\pi} \left(\frac{\pi}{2} \right)- \frac{2}{\pi} \, \frac{1}{4^{n}} \sum_{j=0}^{n} \binom{2n+1}{j} \frac{\pi}{2} = 1 - \frac{1}{4^{n}} \left(4^{n}\right) = 0. \tag{1}$$

Y si $m=n$, $$A_{mn} = 1- \frac{1}{4^{n}} \sum_{j=1}^{n} \binom{2n+1}{j} = 1 - \frac{1}{4^{n}} \left(4^{n}-1\right) = \frac{1}{4^{n}}. $$

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$(1)$ Probar la identidad $\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \cdots + \binom{2n+1}{n} = 4^n$

Answer 2

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}_{#1}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

La Pregunta: $\ds{A_{mn} \equiv {1 \over \pi}\int_{0}^{\pi}\sin\pars{2m\theta}\, {1 - \cos^{2n\,}\pars{\theta} \over \tan\pars{\theta}}\,\dd\theta\,,\qquad m,n \in \llaves{1,2,3,\ldots}}$

\begin{align} \color{#f00}{A_{mn}} & = {1 \over 2\pi}\,\Im\int_{-\pi}^{\pi}\expo{2m\ic\theta}\, {1 - \cos^{2n\,}\pars{\theta} \over \tan\pars{\theta}}\,\dd\theta \\[3mm] & = {1 \over 2\pi}\,\Im\oint_{\verts{z} = 1}z^{2m}\, {1 \over -\ic\pars{z^{2} - 1}/\pars{z^{2} + 1}}\, \bracks{1 - \pars{z^{2} + 1 \over 2z}^{2n}}\,{\dd z \over \ic z} \\[3mm] & = {1 \over 2\pi}\,{1 \over 2^{2n}}\Im\oint_{\verts{z} = 1}z^{2m - 2n - 1}\,\,\, {z^{2} + 1 \over z^{2} - 1}\, \bracks{2^{2n}z^{2n} - \pars{z^{2} + 1}^{2n}}\,\dd z\tag{1} \end{align}

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En efecto, como el OP ya afirmó que no hay polos en $\ds{z = \pm 1}$. Así, nos concentramos nuestros esfuerzos con los polos $\ds{\pars{~\mbox{it depends on the particular values of}\ m\ \mbox{and}\ n ~}}$$\ds{z = 0}$. Esto equivale a reescribir $\ds{\pars{1}}$ en una forma conveniente. Es decir, \begin{align} \color{#f00}{A_{mn}} & = {1 \over 2\pi}\,{1 \over 2^{2n}}\Im\oint_{\verts{z} = 1^{-}} \pars{z^{2m + 1}\ +\ z^{2m - 1}\ } \sum_{\ell = 0}^{\infty}z^{2\ell}\ \bracks{\sum_{\ell' = 0}^{2n}{2n \choose \ell'}z^{2\pars{\ell' - n}} - 2^{2n}} \,\dd z \\[8mm] & = {1 \over 2\pi}\,{1 \over 2^{2n}}\Im\bracks{% \sum_{\ell = 0}^{\infty}\,\,\sum_{\ell' = 0}^{2n}{2n \choose \ell'} \oint_{\verts{z} = 1^{-}}\,\frac{\dd z}{z^{2n - 2\ell' - 2\ell - 2m - 1}}\,\,} \\[3mm] & + {1 \over 2\pi}\,{1 \over 2^{2n}}\Im\bracks{% \sum_{\ell = 0}^{\infty}\,\,\sum_{\ell' = 0}^{2n}{2n \choose \ell'} \oint_{\verts{z} = 1^{-}}\,\frac{\dd z}{z^{2n - 2\ell' - 2\ell - 2m + 1}}\,\,} \\[3mm] & - {1 \over 2\pi}\,{1 \over 2^{2n}}\Im\bracks{% \sum_{\ell = 0}^{\infty}\underbrace{% \oint_{\verts{z} = 1^{-}}\,\frac{\dd z}{z^{-2n - 2\ell - 2m - 1}}\,\,} _{\ds{= 0}}} - {1 \over 2\pi}\,{1 \over 2^{2n}}\Im\bracks{% \sum_{\ell = 0}^{\infty}\underbrace{% \oint_{\verts{z} = 1^{-}}\,\frac{\dd z}{z^{-2n - 2\ell - 2m + 1}}\,\,} _{\ds{=\ 0}}} \\[8mm] & = {1 \over 2^{2n}}\sum_{\ell' = 0}^{2n}{2n \choose \ell'}\sum_{\ell = 0}^{\infty} \delta_{\ell,n - \ell' - m - 1}\,\,\,\, + {1 \over 2^{2n}}\sum_{\ell' = 0}^{2n}{2n \choose \ell'}\sum_{\ell = 0}^{\infty} \delta_{\ell,n - \ell' - m} \\[3mm] & = \left.{1 \over 2^{2n}}\sum_{\ell' = 0}^{2n}{2n \choose \ell'} \right\vert_{\ \ell'\ \leq\ n - m - 1} + \left.{1 \over 2^{2n}}\sum_{\ell' = 0}^{2n}{2n \choose \ell'} \right\vert_{\ \ell'\ \leq\ n - m} \\[3mm] & = \color{#f00}{\left\lbrace\begin{array}{ccrcl} \ds{{1 \over 4^{n}}\bracks{-{2n \choose n - m} + 2\sum_{\ell' = 0}^{n - m}{2n \choose \ell'}}} & \mbox{if} & \ds{m} & \ds{<} & \ds{n} \\[2mm] \ds{1 \over 4^{n}} & \mbox{if} & \ds{m} & \ds{=} & \ds{n} \\[2mm] \ds{0} & \mbox{if} & \ds{m} & \ds{>} & \ds{n} \end{array}\right.} \end{align}