Puede uno canónicas conjugadas variable a ser considerada la "frecuencia" de la otra? (que podría ser una "longitud de onda")?

Question

Así, a partir de http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_variables#Derivatives_of_actiontenemos...

• La energía de una partícula en un determinado evento es el negativo de la derivada de la acción a lo largo de una trayectoria de la partícula final en ese evento con respecto a la fecha del evento.

• El momento lineal de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su posición.

• El momento angular de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su ángulo (posición angular).

• El potencial eléctrico (φ, voltaje) en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de (gratis) carga eléctrica en ese evento.

• El potencial magnético (A) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de la (libre) de la corriente eléctrica en ese evento. El campo eléctrico (E) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la polarización eléctrica de la densidad en ese evento.

• La inducción magnética (B) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la magnetización en ese evento.

• El potencial gravitacional Newtoniano en un evento es el negativo de la derivada de la acción de la de Newton de gravitación de campo con respecto a la densidad de la masa en ese evento.

Sabemos que uno canónicas conjugadas variable puede ser transformada de Fourier en su doble. Así todas las propiedades de las transformadas de Fourier de aplicar.

También parece que el "ímpetu" puede ser considerada como la "frecuencia" de la posición. ¿Esta analogía también se aplican a todos y cada uno de estos casos?

En que la energía de una partícula es la "frecuencia" de su trayectoria? O que el potencial eléctrico es la "frecuencia" de la densidad de carga eléctrica?

O que el campo eléctrico es la "frecuencia" de la polarización eléctrica de la densidad? Y que la inducción magnética es la "frecuencia" de la magnetización?

Answer 1

La respuesta para todos los casos mencionados en la pregunta es positivo: es una transformada de Fourier, que entrelaza los conjugar las variables, pero esto no es cierto en general.

Para ser específicos voy a elaborar la partícula (en una dimensión), pero esta elaboración puede ser generalizada para los otros casos.

En el caso de partículas, sabemos cómo construir una transformación canónica que intercambia la posición y el momentum.

$F(q, Q) = qQ$

El momenta están dados por:

$p = \frac{\partial F}{\partial q}=Q$

$P = -\frac{\partial F}{\partial Q}=-q$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en el primer conjunto de variables correspondientes a un Hamiltoniano $H(p,q) es:

$H(i \hbar\frac{\partial}{\partial q}, q) \psi(q) = E \psi(q)$

mientras que en el segundo conjunto de variables, es la siguiente:

$H(Q, -i \hbar\frac{\partial}{\partial Q}) \phi(Q) = E \phi(Q)$

Ahora, es fácil comprobar que la transformada de Fourier:

$ \phi(Q) = \int exp(\frac{i}{\hbar} F(q, Q)) \psi(q) dq$

entrelaza entre la energía eigenfunction de los dos Hamiltonianos, es decir, si $\psi(q)$ es un eigenfunction de la primera Hamiltonianos con un energe $E$, $\phi(Q)$ será un eigenfunction de la segunda Hamiltonianos con la misma energía.

Ahora, es la anterior descripción general para cualquiera de las dos classicaly conjugar las variables y cualquier transformación canónica, la respuesta es no. En general vamos a tener

$ \phi(Q) = \int exp(\frac{i}{\hbar} F_{quant}(q, Q)) \psi(q) dq$,

donde $F_{quant}(q, Q)$ ia "Cuántica canónica de la transformación", que puede ser ampliado en los poderes de $\hbar$, de que el primer término es el "clásico" canónica de la transformación:

$ F_{quant}(q, Q) = F(q, Q) + \hbar F_1(q, Q) +\hbar^2 F_2(q, Q) + . . . $

Esta ecuación esencialmente constituye la base de la deformación de cuantización.