Las rejillas son de congruencia-distributiva

Question

$\newcommand{\r}[1]{\mathrel{#1}}$ En primer lugar, algunas definiciones. Dado un entramado $L$, una congruencia en $L$ es una relación de equivalencia $\theta$, compatible con el entramado de las operaciones, es decir, si $x_1\r{\theta}x_2$$y_1\r{\theta}y_2$,$x_1\wedge x_2\r{\theta}y_1\wedge y_2$$x_1\vee x_2\r{\theta}y_1\vee y_2$. Las congruencias en $L$ en forma de red, con satisfacer siendo intersección y únase a ser la equivalencia de la envolvente.

Estoy tratando de demostrar que este entramado de congruencias es distributiva. Así que vamos a tomar tres congruencias $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ y el intento de demostrar que $$\theta_1\cap(\theta_2\vee\theta_3)\subseteq (\theta_1\cap\theta_2)\vee(\theta_1\cap\theta_3)$$

Para empezar, vamos a tratar de demostrar algo más fácil que debería llevar a mí a la idea general. Tomar elementos $x,y,z$ tal que $x\r{\theta_1}y,x\r{\theta_2}z$$z\r{\theta_3}y$. Queremos demostrar que $x(\r{(\theta_1\cap\theta_2)\vee(\theta_1\cap\theta_3)})y$.

Empezar con $(x\wedge z)\r{\theta_1}(y\wedge z)$, lo que da $x\r{\theta_1}((y\wedge z)\vee x)$. Del mismo modo, $(x\wedge y)\r{\theta_2}(z\wedge y)$ y $x\r{\theta_2}((y\wedge z)\vee x)$. Esto le da $$x\r{(\theta_1\cap\theta_2)}((y\wedge z)\vee x)$$

Espero una manipulación similar debe ahora dar $$((y\wedge z)\vee x)\r{\theta_1\cap\theta_3} y$$ pero no puedo ver cómo manejar esto. Esto es incluso en la dirección correcta? Supongo que algo distinto de $((y\wedge z)\vee x$ podría ser el medio de enlace, pero nada obviamente mejor viene a la mente.

Answer 1

Me gustaría utilizar el hecho de que si $\theta_1$ $\theta_2$ son congruencias en $L$, e $x,y\in L$, $x\,(\theta_1\lor\theta_2)\,y$ fib hay una cadena $$x\land y=z_0\le z_1\le\dots\le z_n=x\lor y$$ such that whenever $0\le k<n$, $z_k\,\theta_2\,z_{k+1}$ or $z_k\,\theta_3\,z_{k+1}$.

Supongamos que $x\,(\theta_1\cap(\theta_2\lor\theta_3))\,y$. A continuación,$x\,(\theta_2\lor\theta_3)\,y$, por lo que hay una cadena de $$x\land y=z_0\le z_1\le\dots\le z_n=x\lor y$$ such that whenever $0\le k<n$, $z_k\,\theta_2\,z_{k+1}$ or $z_k\,\theta_3\,z_{k+1}$. You also have $x\,\theta_1\,y$, so $(x\de la tierra y)\,\theta_1(x\lor y)$, and therefore $(x\de la tierra y)\,\theta_1\,z_k\,\theta_1(x\lor y)$ for $0\le k<n$. It follows that for $0\le k<n$, $z_k\,(\theta_1\cap\theta_2)\,z_{k+1}$ or $z_k\,(\theta_1\cap\theta_3)\,z_{k+1}$ and hence that $x\,\big((\theta_1\cap\theta_2)\lor(\theta_1\cap\theta_3)\big)\,y$.