Integral de la $\sin(\pi x) \cos(n\pi x)$ $\sin(\pi x) \sin(n\pi x)$

Question

Para una tarea, estoy obligado a calcular la serie de fourier de la función:

$$ \\ f(x) = \begin{cases} 0 & -1 < x < 0\\ \sin(\pi x) & 0 < x < 1 \end{casos} $$

Para ello, necesito encontrar estas integrales para $n \ge 1$:

$$\int_{-1}^1 f(x) \cos(n \pi x) \, dx$$ and $$\int_{-1}^1 f(x) \sin(n \pi x) \, dx$$. These are zero for the range where $f(x)$ es cero, y por lo que todavía necesita:

$$ \int_0^1 \sin(\pi x)\cos(n \pi x) \, dx$$ , y

$$ \int_0^1 \sin(\pi x)\sin(n \pi x) \, dx$$

Pero estoy teniendo problemas con estos. La única cosa que puedo ver a tratar es la integración por partes, pero tengo un lío. El primero me da:

$$ \frac{\sin(\pi x) \cos(n \pi x)}{n\pi} - \frac{1}{n}\int_0^1 sin(\pi x) \sin(n \pi x)$$

Así que esto en realidad depende del resultado de la otra, que parece.. ligeramente agradable, supongo. Pero el tratamiento de esta integral de la misma manera que me da:

$$ \frac{-\sin(\pi x) \cos(n \pi x)}{n \pi} + \frac{1}{n}\int_0^1 \cos(\pi x) \cos(n \pi x) \, dx$$

Y sí parece que esto va a terminar con el original de la integral en él de nuevo después de otra iteración, pero el álgebra esto está generando ya está recibiendo más allá de mí. ¿Hay alguna manera más fácil de hacer esto que me he perdido?

Answer 1

Pruebe el producto y la suma de las fórmulas:

$$\sin x \cos y=\frac{1}{2}[\sin(x+y)+\sin(x-y)]\\ \sin x\pecado y=-\frac{1}{2}[\cos(x+y)-\cos(x-y)]$$

Answer 2

No sé serie de Fourier. Pero yo sé cómo integrar. $-2\sin(\pi x)\sin(n\pi x)= \cos\pi (1+n)x-\cos\pi (1-n)x$ $$-\int \sin(\pi x)\sin(n\pi x)dx=\frac{1}{2}\cdot\big(\int \cos\pi (1+n)xdx-\int\cos\pi (1-n)xdx\big)$$ Ahora la integración es fácil.