Definición intuitiva de la cohomología de Čech para superficies compactas

Question

Dejemos que $X$ sea una compacta lisa $k$ -superficie en $\mathbb R^n$ sin límites. Hoy en mi conferencia de leccion introduje la cohomología de Cech de la siguiente manera (no como en Wikipedia ): dejar $\mathcal U$ sea una cubierta abierta finita de $X$ con bolas suficientemente pequeñas. Para cada par $U,V \in \mathcal U$ , $U \cap V \neq \varnothing$ definir un número real $C_{UV}$ de manera que se cumplan las siguientes propiedades: $$ C_{UV} + C_{VU} = 0, \\ C_{UV}+C_{VW}+C_{WU}=0, \;\;\; \text{if } U \cap V \cap W \neq \varnothing. $$ La colección $\{C_{UV}\}$ se denomina ciclo Cech 1. Para cada $U \in \mathcal U$ definir también un número real $\sigma_U$ . Entonces esta colección $\{\sigma_U\}$ se llama ciclo 0 de Cech. El ciclo 1 $\{C_{UV}\}$ se denomina cofundador si existe un ciclo 0 $\{\sigma_U\}$ tal que para cada $U,V \in \mathcal U$ , $U \cap V \neq \varnothing$ tenemos $C_{UV} = \sigma_U - \sigma_V$ . En esta definición los cociclos forman un espacio vectorial real $\mathcal P$ y las coordenadas forman su subespacio $\mathcal P_0$ . Factorspace $\mathcal P / \mathcal P_0$ se llama espacio de Cech 1-cohomología. A continuación, definimos la acción del ciclo 1 de Cech sobre cualquier curva suave $\gamma$ en $X$ como una suma de todos los $C_{UV}$ para $U \cap V \cap \gamma \neq \varnothing$ y también hemos demostrado que la 1-cohomología de Cech es isomorfa a la 1-cohomología de Rham.

Mi pregunta es por qué esta definición difiere tanto de la que se da en Wikipedia ? La definición dada en Wikipedia parece muy difícil, requiere muchos pasos y muchas construcciones (incluso límite inductivo, pero creo que esto corresponde al requisito de la pequeñez de la cobertura $\mathcal U$ en mi definición). ¿Hay algún libro en el que se introduzca la cohomología de Cech como en mi definición? La definición dada por mi profesor me parece muy intuitiva y no puedo decir lo mismo de la definición dada en Wikipedia. ¿Cuál es la relación de estas dos definiciones para el caso de las compactas lisas $k$ -superficies en $\mathbb R^n$ ? ¿Están de acuerdo?

Answer 1

Su profesor definió la cohomología Čech de la cubierta $\mathcal U$ de $X$ . Como la cubierta utiliza bolas bastante pequeñas es un bueno y da el mismo resultado que cualquier otra buena cubierta. El artículo de la Wikipedia empieza igual, al menos ahora. No sé lo que decía cuando usted publicó esta pregunta. Y como las buenas portadas son cofinales en todas las portadas de $X$ esta cohomología estará de acuerdo con la definición de colímite. Entonces Wikipedia utiliza esto para dar la definición de colímite que no favorece a ninguna cubierta. Creo que muchos textos hacen esto pero no tengo ninguno a mano ahora mismo.

La definición de colímite tiene la ventaja, a efectos teóricos, de no necesitar saber cuáles son las cubiertas buenas y de permitir manipulaciones que no necesitan preservar las cubiertas buenas. (Para cálculos específicos en un caso concreto es probable que se quiera encontrar una buena cobertura). Y se generaliza a otros contextos en formas que Qiaochu insinúa - por ejemplo Čech cohomología de gavillas etale.

Puede que tú, el OP, ya sepas todo esto, dos años después de publicar, pero es una buena pregunta, así que quería responderla.