¿Cómo es el reordenamiento de un convergente la serie no puede converger en el mismo valor / o no converge en todos los

Question

Mirando de Riemann del teorema de Reordenamiento me pregunto, ¿Cómo es convergente la serie particular re-arrengement no convergen en el mismo valor de la serie original.

No el de abajo verdad?

Deje $\phi : N \to N$ ser un bijection. Donde $N$ es el conjunto de números naturales Un re-arrengement de una secuencia $\sum a_n$ $\sum a_{\phi(n)}$

Entonces me Dan un ejemplo de una serie que tiene un reordenamiento que no converge o no convergen en el mismo valor.

Me refiero... 4+1+2+2+9+6 = 1+2+2+6+4+9 = 24

??

Answer 1

Considere el siguiente

$$\sum_{n=1}^\infty \frac 1n =\infty,\qquad \sum_{n=1}^\infty \frac 1{2n}=\infty,\qquad \sum_{n=1}^\infty \frac 1{2n-1}=\infty,\qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}n=\ln(2).$$

En resumen: la suma de los recíprocos de todos los números diverge (serie armónica). La suma de los recíprocos de pares/impares números diverge. Pero si puede resumir pares e impares recíprocos con la alternancia de signos, converge.

Así que aquí tienen una infinita suma que parece converger: $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots =\ln(2).$$

Por supuesto, si usted acaba de reorganizar un número finito de sumandos, el resultado final será con la misma suma. Pero si a barajar todos los números, se puede llegar a todas partes con su límite. Creo que esto se hace en cualquier prueba de Riemann, de reordenación del teorema, pero permítanme línea de salida de la prueba en este ejemplo. Digamos que usted desea reorganizar la suma converge a $\pi$ (por diversión). Luego de tomar algunos de los términos positivos (el extraño recíprocos) y añadir una cantidad suficiente de ellos hasta que usted es apenas mayor que $\pi$: $$1+\frac13+\frac15+\cdots>\pi.$$ Usted puede hacer esto, como sabemos que la suma de los impares recíprocos diverge. En el paso siguiente, tome sólo el negativo (incluso) recíprocos y restar de su suma hasta que esté justo debajo de $\pi$. Una vez más usted puede hacer esto, porque la suma de los recíprocos diverge. Ahora de nuevo tomar positiv términos, entonces negativos, entonces positivos, y así sucesivamente. En "el fin" que se han utilizado todos los términos de la suma original, pero reorganizado de manera que, para que convergen a $\pi$. Y no hay nada especial acerca de la $\pi$, así que usted puede utilizar este método para convergen cualquier cosa, incluida la $\pm\infty$.

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Aquí una descripción de cómo reorganizar la suma para hacer divergentes, por ejemplo, divergentes a $\infty$. Suma suficiente positivo (impar) condiciones para hacer la suma mayor que $1$. Añadir un solo término negativo. Agregar términos positivos hasta que la suma exceda $2$. Agregar un solo término negativo. Agregar términos positivos exceder $3$, ... y así sucesivamente. Usted va a superar cualquier número natural, por lo tanto difieren de a $\infty$.

Answer 2

He aquí un ejemplo concreto donde reordenamiento de una serie convergente de los resultados de una serie que converge a un valor diferente.

Considere la posibilidad de $$ 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} + \ldots $$ Las sumas parciales de esta serie alternativa 0 entre los valores de la forma $1/n$, por lo que converge a cero.

Ahora considere la posibilidad de $$ 1 + \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \ldots $$ Esto es claramente un reordenamiento de la primera, y no es demasiado difícil ver que no cambie la convergencia de comportamiento si usted suma los términos en grupos de 3:

$$ \left(1 + \frac{1}{2} - 1\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{7} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4}\right) + \ldots \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} +\frac{1}{30} + \frac{1}{56} + \ldots \\ $$ Ahora por métodos estándar se puede comprobar que esto converge a un valor mayor que cero. Sin embargo, la expansión de cada plazo como una diferencia muestra que en realidad converge a un valor conocido. $$ \frac{1}{2} + \frac{1}{12} +\frac{1}{30} + \frac{1}{56} + \ldots \\ =\left(1 - \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) + \ldots \\ = \ln(2) $$

Answer 3

Creo que usted necesita para comprender la naturaleza de un condicionalmente convergente la serie. Puedo restringir el debate a la serie cuyos términos son números reales.

Si una serie de $\sum a_{n}$ es condicionalmente convergente y nos separamos de los términos positivos de esta serie en $\sum b_{n}$ y en términos negativos en otra serie de $\sum c_{n}$, entonces tenemos que entender dos cosas siguientes:

• $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to\infty}b_{n} = \lim_{n \to \infty}c_{n} = 0$
• $\sum b_{n}$ diverge a $\infty$ $\sum c_{n}$ diverge a $-\infty$.

Considere la posibilidad de la expresión $$S(M,N) =\sum_{n=1}^{M} b_{n} + \sum_{n=1}^{N} c_{n}$$ and we can see that it is of the indeterminate form $\infty - \infty$ as $M, N$ tend to $\infty $ independently. Since the series on right diverge it is possible to take desired number of terms from $\sum b_{n}$ and $\sum c_{n}$ to add up to any particular sum (including $\pm\infty$). To add some details, suppose I want to achieve the sum $2$. Then I choose terms from $\suma b_{n}$ so that the sum of these chosen terms is greater than $2$ (this is possible because $\suma b_{n}$ diverges and we can exceed any number by choosing sufficient number of terms). Next I add terms from the series $\sum c_{n}$ (note the terms here are negative so that adding them effectively reduces the sum) so that the sum is less than $2$. Repeating this procedure ad infinitum I get a series whose sum is $2$.

Formalmente, dado cualquier número real $S$, se puede demostrar que no existen secuencias de $m_{k}, n_{k} $ tomar valores enteros positivos y tienden a $\infty$ $k\to\infty$ tal que $S(m_{k}, n_{k}) \to S$$k\to\infty$. El argumento anterior cuando se formalizó con todos los detalles constituye una prueba de Riemann, de reordenación del teorema.

Answer 4

Considere la siguiente serie armónica alternante:

$$\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots$$

Considere el siguiente reordenamiento:

$$S=1\overbrace{-\frac12-\frac14-\frac16}\underbrace{+\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}}\overbrace{-\frac18-\dots}$$

donde cada conjunto de llaves tira de la serie tal que $S_k>1$$S_n<0$. Esto puede suceder desde que la serie converge condicionalmente, y poniendo suficiente términos positivos juntos, las sumas parciales pueden ser arbitrariamente grandes, y poniendo suficiente términos negativos juntos, las sumas parciales pueden ser arbitrariamente pequeño.

Por lo tanto, tenemos divergencia por reordenamiento.

Answer 5

La integridad, recuerda que el "$\sum_{k=0}^\infty x_k$" es definido como "$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n x_k$". Observe que el límite específicamente toma sumas parciales en el orden en particular que los términos de la secuencia. Esta es la razón por la que no es lógicamente válido para reorganizar una secuencia infinita, ya que es posible elegir una secuencia de aumento de los subconjuntos de los términos tales que la sucesión de sus sumas no tiende al límite original. De hecho, es falso para condicionalmente convergente la serie, aunque es verdad que para absolutamente convergente la serie.

Es un buen ejercicio para demostrar que si $\sum_{k=0}^\infty |x_k| = c$ $\sum_{k=0}^\infty x_{φ(k)}$ converge para cualquier bijection $φ$$\mathbb{N}$. Especialmente para las secuencias de números complejos.