Para cada $r,s \in \mathbb{Q}$$r<s$, no es irracional número de $u$ que $r < u < s$.
Esto puede ser demostrado de la siguiente manera:
Tomar $r=\frac{a}{b}$, $s=\frac{c}{d}$ para $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. A continuación, tome $u$$\frac{a}{b}+\dfrac{\frac{c}{d}-\frac{a}{b}}{\pi}$. Desde $\pi>1$ y desde $\frac{c}{d}-\frac{a}{b}$ es siempre positivo, $0<\dfrac{\frac{c}{d}-\frac{a}{b}}{\pi} < \frac{c}{d}-\frac{a}{b}$, es decir, menos que la diferencia de $r$$s$, lo $r<u=\frac{a}{b}+\dfrac{\frac{c}{d}-\frac{a}{b}}{\pi}<s$.
Lema 1: El cociente de una (edit: no-cero) número racional y $\pi$ es irracional.
Prueba (por contradicción): Asumir el cociente de un número racional y π es racional, es decir $\dfrac{\frac{a}{b}}{\pi}=\dfrac{c}{d}$$a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. A continuación,$\pi=\dfrac{ad}{bc}$. Desde $ad$, $bc$ son ambos enteros, $\pi$ es racional. Una contradicción.
Lema 2: La suma de un racional y un número irracional es irracional.
Prueba (por contradicción): Asumir la suma de un racional y un número irracional es racional, es decir $\dfrac{a}{b}+i=\dfrac{c}{d}$ $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ y algún número irracional $i$. A continuación,$i=\dfrac{cb-ad}{db}$. Desde $db$ $(cb-ad)$ son ambos enteros, $i$ es racional. Una contradicción.
Nos muestran que $u$ es irracional. Desde $\pi$ es irracional, $\dfrac{\frac{c}{d}-\frac{a}{b}}{\pi}$ y, por tanto, $\frac{a}{b}+\dfrac{\frac{c}{d}-\frac{a}{b}}{\pi}$ son irracionales por el Lema 1 y 2, respectivamente. $\blacksquare$
