Encontrar $a, b\in \mathbb Z$ donde $(a^2+b)(a+b^2)=(a-b)^3$

Question

Encontrar todos los no-cero $a, b\in \mathbb Z$ donde $$(a^2+b)(a+b^2)=(a-b)^3$$ Yo en realidad no tenía ni idea de por qué probar. Gracias por tu ayuda.

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Creo que ya he probado, pero por el 1er comentario me deja ampliar ambos lados y ver lo que puedo cancelar. $$a^3+a^2b^2+ab+b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$b(a^2b+2b^2+3a^2-3ab+a)=0$$ Y entonces..?

Answer 1

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Gracias de nuevo a астон вілла олоф мэллбэрг!

$$a^3+a^2b^2+ab+b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$ $$b(a^2b+2b^2+3a^2-3ab+a)=0$$ $$b=0\quad or \quad 2b^2+(a^2-3a)b+3a^2+a=0$$

Aplicando la fórmula cuadrática en b, $$b=\frac{a(3-a)\pm\sqrt{a^2(a-3)^2-24a^2-8a}}{4}=\frac{a(3-a)\pm (a+1)\sqrt{a(a-8)}}{4}$$ Por lo $a(a-8)$ debe ser un cuadrado, vamos a decir $n^2$. $$a^2-8a=n^2$$ $$(a-4)^2:=m^2=n^2+16$$ $$(m,n)=(\pm4,0),(\pm5,\pm3)$$ $$(a,b)=(8,-10),(-1,-1),(9,-6),(9,-21)$$