Ejemplos de equivalencia birracional de una variedad y una hipersuperficie

Question

Hay un teorema de geometría algebraica (I.4.9 en Hartshorne) que dice: cualquier variedad de dimensión r (sobre un campo algebraicamente cerrado) es biracionalmente equivalente a una hipersuperficie en un espacio proyectivo de dimensión r+1. La prueba es bastante algebraica, y me gustaría ver algunos ejemplos geométricos interesantes.

Answer 1

La prueba es en realidad extremadamente geométrica, si se agita la mano lo suficiente. Tome una variedad de dimensión r V en P^{r+d}. Escoge un punto genérico Q en P^{r+d} (donde d > 1), y proyectar P^{r+d} desde este punto a P^{r+d-1}. Una línea genérica que pasa por Q no toca V en absoluto, y una línea genérica que toca V, lo hace exactamente en un punto (he movido las manos aquí), por lo que la proyección es birracional desde V a su imagen.

Answer 2

Tal vez el primer ejemplo fue en un papel de Corrado Segre, donde se analizó una cuártica de la superficie en P^3 con un doble cónico, como una proyección de una completa intersección de dos quadrics en P^4. Digo que la primera, porque en ese documento se afirma que algunas personas no creen en la existencia de 4 dimensiones del espacio. pero él no piensa que es relevante y hará uso de ella de todos modos. Segre superficie, un ejemplo especial de un del Pezzo superficie, se discute en Semple y Roth, p. 141., donde la referencia a su "época de hacer el papel de", se da como matemáticas. ann. 24, (1884), 313.

Otro buen ejemplo es el cúbicos de superficie en P^3, realizado por la proyección de la veronese incorporación de la P^2 en P^9 por avión cúbicas. Esta vez las proyecciones se realizan successivelky de puntos en la superficie, por lo que "voladura" de 6 puntos en el proceso.

Un simple ejemplo es la proyección de un espacio racional cúbicos de P^3 a un nodal cúbicos curva en P^2. Esto ilustra el hecho de que, en general, las proyecciones tienden a recoger las singularidades. Fulton y Hansen la conexión del teorema tiene como consecuencia que una suave superficie proyectada de P^5 en P^3 a partir de los puntos de la superficie recoge no sólo una doble curva, pero "pellizco" puntos así (http://www.math.umn.edu/~roberts/ima_tutorial.html#proyecciones).

Un geométrica detallada la prueba de que cualquier espacio liso de la curva puede ser proyectada birationally en el avión, con sólo los nodos como las singularidades es en Mumford, de Alg. Geom. Yo, Complejo de variedades proyectivas, páginas 132 y ss.

Answer 3

Deje $X\subset\mathbb{P}^N$ ser una variedad de dimensión $r$ y asumen $N\geq r+2$. Deje $H$ general lineal subespacio de dimensión $N-r-2$. Un general del espacio lineal de dimensión $N-r-1$ atravesado por $H$ y un punto de $x\in X$ intersecta $X$ exactamente en $x$ ya $N-r-1+r = N-1 < N$.Revisión general lineal subespacio $\Lambda$ de la dimensión de $r+1$. Por lo tanto, la proyección de $H$ $$\pi_H:X\rightarrow \Lambda\cong\mathbb{P}^{r+1},\: x\mapsto \left\langle x,H\right\rangle\cap\Lambda$$ es birational y $X$ es birational a la hipersuperficie $X^{'} = \overline{\pi_H(X)}\subset\mathbb{P}^{r+1}$. Tenga en cuenta que desde $H$ no se cruzan $X$ tenemos $deg(X^{'}) = deg(X)$.

Por ejemplo, la proyección de la Veronese superficie $V\subset\mathbb{P}^5$ a partir de una línea general obtenemos una superficie de $S\subset\mathbb{P}^3$ grado $4$ y singular a lo largo de tres líneas dobles. La superficie de la $S$ es conocido como Steiner romano de la superficie.