$R$ es que un giro de las manecillas del reloj de una cara derecha y $U$ es un giro de las manecillas del reloj de la cara superior de una $2 \times 2 \times 2$ Rubik Cube. Encontrar el orden del subgrupo generado por $\{R, U\}$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Me sorprende que nadie ha contestado todavía.
De todos modos, la respuesta es (6!/6)(3^5) = 29, 160.
Voy a cubrir tanto el 3x3x3 caso y 2x2x2 caso para la integridad, como la cantidad de trabajo adicional para cubrir el 3x3x3 caso es insignificante.
Prueba
Lema 1: Borde de la Orientación se conserva en < R,U >. (Esto debería ser obvio para ver).
Lema 2: Hay 3^5 posibles esquina de orientación a los estados para el 6 esquinas en < R,U >.
Prueba
El movimiento de la secuencia, R U2 R' U R' U2 R U2 R U R' U' R' U R U2, dobla la parte superior-frontal derecho (UFR) esquina -90 grados y la parte superior-derecha de la esquina (UBR) +90 grados. Ya podemos colocar cualquiera de las dos esquinas en estos dos ranuras y dado que cada jurídica de la esquina orientación de tipo torsión puede ser expresado como una composición de un {+90,-90} esquina giro, luego podemos aplicar conjugados de este movimiento de la secuencia de torcer las 6 esquinas en cualquier de los 3^5 maneras diferentes.
Lema 3: 7! borde de permutaciones (esto no se refiere a la orientación, sólo la colocación de piezas) son posibles de alcanzar en < R,U >.
Prueba
Se supone que la lista {1,2,3,4,5} es el estado resuelto. Podemos aplicar el siguiente 3 de 4 ciclos (una cara de cuarto de vuelta hace un 4-ciclo de bordes en su cara) para crear un 2-ciclo.
(2->1->4->3)(5->3->1->4)(1->5->4->3) = {2,1,3,4,5}.
Podemos colocar cualquiera de los bordes de la cara en forma de U o R en cualquier orden, y por lo tanto, podemos hacer cualquier 4-ciclo de bordes mediante la conjugación de los movimientos U, U' o R, R', respectivamente. Por lo tanto, podemos crear un 2-ciclo de la anterior descomposición, por ejemplo. Por último, desde cualquier permutación se puede expresar como un producto de transposiciones (2 ciclos), y ya podemos aplicar conjugados de cualquier 2-ciclo de maniobra para crear cualquier otro 2-ciclo, podemos generar todos los 7! borde permutaciones accesible en < R,U >.
Lema 4: no Podemos hacer un 3-ciclo de esquinas mediante mueve en < R,U > solo.
Prueba 1
Considerar la U de cara o R la cara. Hay (4!)/4 = 6 posibles de 4 ciclos y (4!)/(2^2*2!) = 3 posible 2 2 ciclos de 4 objetos. El uso de < R,U > mueve, solo dos de los seis posibles 4-ciclo de permutaciones se puede llegar en < R,U > (uno de los tres distintos de 4 ciclos y su inversa) y sólo uno de los tres 2 2-ciclos es accesible en < R,U >. Ya podemos escribir cualquiera de los 6 posibles de 4 ciclos como un producto de cualquiera de uno de los otros 4 ciclos y un 3-ciclo, esto claramente muestra que no es posible hacer un 3-ciclo de las esquinas en los < R,U >. Un argumento similar se aplica para el 2 2-ciclo.
Prueba 2
No podemos aislar un rincón, ya sea en la U de cara o R la cara con < R,U > vueltas. Por ejemplo, no podemos poner la espalda inferior de la esquina derecha en la parte superior de la espalda a la derecha de la ranura de la preservación de la formación de los 3 restantes en las esquinas U capa. (Esto puede ser logrado con la secuencia D R D' R', sin embargo, sino que es, obviamente, fuera de los < R,U >). Ya que no podemos aislar una esquina en la U o R la cara con < R,U > se convierte sólo, no podemos hacer un 3-ciclo de esquina colector, como muchos conmutadores simples se basan en el aislamiento de una sola pieza en una cara con los movimientos X y, a continuación, girando a la que se enfrentan para el movimiento Y para el conmutador [X,Y].
Corolario del Lema 4
Ya no se puede hacer un 3-ciclo de las esquinas en los < R,U >, se sigue que no podemos generar un 2-ciclo de las esquinas en los < R,U > porque si pudiéramos generar un 3-ciclo de las esquinas en los < R,U >, entonces se podría aplicar el adecuado 4-ciclo 3 ciclo en las esquinas y un rincón fuera de la 3-ciclo a crear un 2-ciclo.
Lema 5: Sólo 1/6 de la esquina permutaciones son accesibles en < R,U >.
Prueba
Supongamos que tenemos un revuelto de estado generados por algunos maniobra estrictamente en < R,U >. Hablando estrictamente de la colocación de las esquinas (haciendo caso omiso de orientación), podemos colocar la primera esquina en una de las 6 de la esquina ranuras con los movimientos en < R,U >. A continuación, podemos colocar una segunda esquina en cualquiera de las 5 ranuras restantes. Podemos añadir un tercer vértice en cualquiera de los restantes 4 ranuras.
Esto le da (6)(5)(4) = 120 = 6!/6 las permutaciones posibles.
Desde sólo 3 esquinas quedan para ser colocado en las 3 ranuras de ahora, y desde Lema 4 y su corolario son verdaderas, no podemos elegir el arreglo de estos tres esquinas restantes porque no somos capaces de hacer un 3-ciclo o un 2-ciclo en < R,U >.
Conclusión (Final de la Prueba)
Desde los lemas 1-5 y Lema 4's corolario son verdaderas, y dado que la paridad de las esquinas y los bordes en el 3x3x3 son dependientes, claramente el diámetro de los < R,U > subgrupo es (6!/6)(3^5)(7!)(1/2) = 73, 483, 200 para el 3x3x3 caso.
Por el lema 2, 4, 5 y lema 4 corolario, el diámetro de los < R,U > subgrupo para el 2x2x2 caso es: (6!/6)(3^5) = 29, 160.
