La prueba de que ${\left(\pi^\pi\right)}^{\pi^\pi}$ (and now $\pi^{\left(\pi^{\pi^\pi}\right)}$) es un no entera

Question

Conor McBride pide una rápida prueba de que $$x = {\left(\pi^\pi\right)}^{\pi^\pi}$$ is not an integer. It would be sufficient to calculate a very rough approximation, to a precision of less than 1, and show that $n < x < n+1$ for some integer $n$. But $x$ es lo suficientemente grande (56 dígitos) que ese método no es, obviamente, prácticos, sin electrónica computación herramientas.

Hay una puramente teórico de la prueba de que funciona con ningún cálculo en todos, o es que hay un cálculo argumento de que sería práctico antes de 1950?

Edit: me Deja la frase de la pregunta un poco diferente, como un estímulo para su imaginación matemática. Retrocedemos en el tiempo a 1847, y almorzar con Carl Friedrich Gauss. Estamos hablando de la evolución en 20 y 21-las matemáticas del siglo, y debido a que soy una persona horrible, menciono que $(\pi^\pi)^{\pi^\pi}$ ha sido demostrado ser un número entero. Gauss es incrédula, pero insisto. Después de salir, puede Gauss convencerse de que yo no soy nada pero un troll?

Edit: Después miré hacia McBride de la pregunta original, yo vi a mi pesar de que él no había preguntado acerca de $x= (\pi^\pi)^{\pi^\pi}$, but $$y=\pi^{\left(\pi^{\pi^\pi}\right)}$$ which is a rather different animal. The value of $x$ has 57 decimal digits; the value of $y$ has ^{57}$ digits. So Alexander Walker's impressive display of direct numerical calculation will avail nothing for deciding that $y$ no es un número entero, ni en 1873, ni en 2013, y tal vez no en 2153. ("Se debe tratar de destruir a los alienígenas.") Más poderosos métodos teóricos será necesario. Estoy publicando un adicional de recompensa a ver si alguien puede sugerir algo de ese tipo; no es necesario que sea la teoría que estaba disponible en el siglo 19.

Answer 1

Creo que este cálculo habría sido factible en 1873, de la siguiente manera:

(1) Calcular $\log \pi$ to $ dígitos. Para ello, vamos a comenzar con la expansión

$$\log \pi = \log \left(\frac{\pi}{22/7}\right)+\log 2 + \log 11-\log 7$$

y aprovecha el hecho de que el logaritmo de las tablas de enteros pequeños se sabe que una gran precisión. Como para el logaritmo de la $\pi/(22/7) \approx 1.00041$, the Taylor series for the logarithm spits out $digits after only$ términos. (Sorprendentemente, este mismo análisis se ha hecho sobre el MSE antes.)

(2) Calcular $(\pi+1)\log \pi$ to $digits. This is no big deal, given our value for$\log \pi$from (1), since$\pi$ was known (to Gauss, no less!) to at least 0$ dígitos de regreso en 1844. Para referencia, este valor es

$$\approx 4.7410048855785583722294291029994190930164741026691888020108672.$$

(La multiplicación por supuesto va a ser un dolor de cabeza, ya que se requiere de alrededor de 00$ flops. Sin embargo, este cálculo es probable que se delegue a un menor matemático. El artículo de la Wikipedia en Zacarías Dase (temporal asistente de Gauss) pone a estos cálculos en perspectiva:

A la edad de 15 [Zacarías Dase] comenzó a viajar mucho, dando exhibiciones en Alemania, Austria e Inglaterra. Entre sus hazañas más impresionantes, multiplicó los 79532853 × 93758479 en 54 segundos. Multiplica dos números de 20 dígitos en 6 minutos; dos de 40 números de dos dígitos en 40 minutos; y dos de 100 números de dos dígitos en 8 horas y 45 minutos. El famoso matemático Carl Friedrich Gauss comentó que alguien experto en el cálculo podría haber hecho el 100 dígitos de cálculo en la mitad de tiempo que con lápiz y papel.

(3) Exponentiate el producto, de nuevo, a $lugares. Utilizando sólo la serie$$e^z = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$$dicho cálculo requeriría$ términos. Por esta razón, que en lugar de calcular $$e^{4.741} \approx 114.54869311801681310751748724665811195370661075419665168411647;$$ $$e^{0.0000048\cdots} \approx 1.0000048855904928305900123833767696556988185632721564706179420.$$ La última aproximación requiere un mero $terms of the exponential Taylor series to achieve$ dígitos, un compromiso de alrededor de 18000 flops. Por Gauss, métrica, se podría esperar un experto matemático para completar esta tarea en poco más de siete horas.

El cálculo previo se podría hacer en una de dos maneras: directamente, a un costo de otro 000$flops (e.g.$ consecutive multiplications of a $-digit and a$-digit number); or by calculating $\mathrm{exp}(4)$ and $\mathrm{exp}(.741)$ independently (a slight time savings, I believe, even after the final multiplication). Of course, now it just takes another 00$flops to multiply these numbers to$ lugares.

Nota: En retrospectiva, parece que el cálculo de la triple producto $$e^4 e^{3/4}e^{-9/1000}$$ se puede acelerar este más reciente paso.

En caso de que hayas perdido la pista, ahora sabemos que el valor de $$e^{(\pi +1)\log \pi}=\pi^{\pi+1}$$ a $ dígitos, todo dentro de un día o dos de iniciar nuestros cálculos.

(4) Multiplicar $\log \pi$ and $\pi^{\pi+1}$ to $dígitos. Este paso es muy sencillo, dado pasos (1) y (3). Este valor es$$\approx 131.12795303153615589452803943707399841542170349230159549341360.$$ Por supuesto, este valor es también el logaritmo de $(\pi^\pi)^{\pi^\pi}$, por lo que sigue:

(5) Exponentiate el término de (4). Desde que funcionó tan bien en (3), nos encontraremos de nuevo dividido nuestro exponencial en un producto de términos más sencillos. Aquí, estamos de suerte ya que el binario de expansión de 1.127953\ldots$comienza como$000011.001000001100000\cdots_2,$$ la aproximación parcial 1+1/8$is surprisingly accurate: to within$\approx 0.002953$. The exponential of this remainder can be made accurate to over$ digits with a mere $terms (i.e. 000$ flops).

En segundo lugar, calculamos el $e^{131}$ to $digits, using iterated multiplication and an approximation of$e$to$ digits (5$ dígitos se conoce a William Shanks en 1871). Ya basta aquí para calcular sucesivamente $$e^2,e^4,e^8,e^{16},e^{32},e^{64},e^{128},$$ este paso se puede hacer en menos de 000$flops. Thirdly, we compute$e^{1/8}$to$ digits using three applications of Newton's method for the square root (another 00$flops). Nos encontramos con un valor de$$\approx 887455172183124295874631455225434602688412866765466125005\color{red}{.16},$$ un no-entero.

Todo dicho y hecho, me sorprendería si este cálculo se tomó mucho más tiempo de una semana. Al mismo tiempo, insisto en que este problema habría sido apenas factible en la época. Si dos veces el número de dígitos necesarios, por ejemplo, este trabajo puede muy bien haber tomado la mejor parte de un año.