En primer lugar yo siempre revise si cumple Cauchy-Riemann ecuaciones o no.
Si cumple usted puede escribir $f(x,y) = u(x,y)+iv(x,y)$ en la forma $f(z)$. Si no le satisface de Cauchy-Riemann ecuaciones, usted no puede escribir el $f(x,y) = u(x,y)+iv(x,y)$ en la forma $f(z)$.
Me gustaría mostrar mi estrategia en algunos de los ejemplos
Ejemplo 1: ( no se puede convertir el $f(x,y)$ a $f(z)$ en este ejemplo, ya que no satisface a Cauchy-Riemann ecuaciones. Por lo tanto usted no necesita luchar para convertir en $f(z)$ porque no se puede de ninguna manera)
$$f(x,y)=x^2+y^2+i2xy$$
$$u(x,y)=x^2+y^2$$
$$v(x,y)=2xy$$
De Cauchy-Riemann ecuaciones:
$$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}$$
$$\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$$
$$2x=2x$$
$$2y \neq -2y$$ Así que usted puede hacer para transformar el ejemplo 1.
Ejemplo 2: (El ejemplo puede convertir el$f(x,y)$$f(z)$)
$$f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{iy}{x^2+y^2}$$
$$u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$
$$v(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}$$
Si usted llega, Se satisface de Cauchy-Riemann ecuaciones por lo tanto se puede convertir en forma de $f(z)$
Por lo tanto el uso de la conocida relación de $z$ para la conversión .
Sabemos $z=x+iy$, por lo que
$x=z-iy$
Ponerlo en la ecuación y verás que $y$ desaparecerá después de las operaciones porque satisface de Cauchy-Riemann ecuaciones
$$f(z)=\frac{z-iy}{(z-iy)^2+y^2}-\frac{iy}{(z-iy)^2+y^2}$$
$$f(z)=\frac{z-iy}{z^2-2izy}-\frac{iy}{z^2-2izy}$$
$$f(z)=\frac{z-2iy}{z^2-2izy}=\frac{z-2iy}{z(z-2iy)}=\frac{1}{z}$$
