¿Está la acción de un grupo finito sobre un conjunto finito determinada por sus puntos fijos?

Question

Supongamos que me dan un grupo finito $G$ y un conjunto finito $X$ y le dijo que $G$ actúa sobre $X$ pero no se ha dicho cómo.

Sin embargo, supongamos que para cada subgrupo $H\le G$ me dan el subconjunto $X^H\subset X$ de elementos fijados por todo en $H$ .

¿Los datos anteriores permiten determinar la acción de $G$ en $X$ ¿hasta el isomorfismo? Es decir, ¿podrían dos acciones no isomorfas dar lugar a la misma colección de puntos fijos $\{X^H : H\le G\}$ ? (Aquí dos acciones "." y " $\cdot$ " de $G$ en $X$ son isomorfas si existe una autobijía $f : X\rightarrow X$ con $f(g.x) = g\cdot f(x)$

Answer 1

Si $G$ actúa transitoriamente sobre $X$ y $x_{0}$ es un elemento fijo de $X$ su información dará lugar al estabilizador $G_{x_{0}}$ como el mayor subgrupo $H$ tal que $x_{0} \in X^{H}$ . Así sabrás que la acción de $G$ en $X$ es isomorfo al de $G$ en los cosets de $G_{x_{0}}$ .

Answer 2

Creo que la respuesta es sí. De hecho, creo que basta con suponer que los tamaños de los conjuntos de puntos fijos de cada $H \le G$ son los mismos en ambas acciones.

Este es un argumento aproximado. Creo que lo que tú llamas acciones isomórficas se suele llamar acciones equivalentes, así que lo haré. El objetivo es definir una equivalencia $\tau:X \to X$ entre las dos acciones $\alpha$ y $\beta$ . Es más conveniente dejar que las dos acciones sean sobre conjuntos $X_1$ y $X_2$ con $X_1=X_2=X$ .

En primer lugar, los puntos fijos de $G$ en $\alpha$ puede ser mapeado bijetivamente por $\tau$ a los puntos fijos bajo $\beta$ Así que ahora podemos olvidarnos de ellos, y eliminar los puntos fijos bajo las dos acciones de $X_1$ y $X_2$ . (Así que $X_1$ y $X_2$ puede ser ahora diferente).

Ahora dejemos que $H$ sea un subgrupo máximo de $G$ . Entonces, cada punto fijo de $H$ bajo una acción debe corresponder a una órbita de la acción que sea equivalente a la acción por multiplicación sobre los cosets de $H$ como en la respuesta de Andreas Caranti. Hay exactamente un punto fijo para cada una de estas órbitas. Así que ahora podemos definir $\tau$ en cada una de estas órbitas bajo $\alpha$ y las asigna a las órbitas correspondientes bajo $\beta$ . Podemos hacerlo para cada uno de los subgrupos máximos, y después de hacerlo, podemos eliminar los puntos de todas estas órbitas de $X_1$ y $X_2$ . (De hecho, cuando definimos la correspondencia entre dos órbitas de este tipo, estamos tratando con todos los subgrupos máximos de una clase de conjugación).

Ahora consideramos los subgrupos máximos de dos pasos $H$ de $G$ es decir, subgrupos máximos de subgrupos máximos. Como hemos eliminado las órbitas en las que un punto estabilizador es maximal, todos los puntos fijos de tales subgrupos deben corresponder a órbitas en los cosets de esos subgrupos. Ahora puede haber más de un punto fijo de $H$ en cada órbita, pero habrá el mismo número en cada órbita, por lo que podemos definir $\tau$ en estas órbitas como antes.

A continuación, consideramos $3$ -subgrupos máximos, y seguir así hasta $\tau$ se define en el conjunto de $X_1$ .

Answer 3

Así que la respuesta es sí, y es equivalente (por la correspondencia de Galois) a la respuesta positiva a esta pregunta:

¿Está una gavilla etale localmente constante determinada por sus secciones sobre vecindades etale finitas?