El efecto deformación de doble traza en AdS/CFT

Question

Permítanme usar este documento como referencia para este.

Quiero entender mejor el argumento en la parte inferior de la página 6.

Si el grueso $AdS$ métrica está escrito como $\frac{1}{r^2}(dr^2 + A(r)ds_{boundary}(x)^2)$, entonces el libre masiva de los valores escalares de los campos en los que son de la forma, $\phi = r^{\Delta_{+}}(\alpha(x)) + r^{\Delta_{-}}(\beta(x))$,cerca de $r=0$. (...y los números de $\Delta_{\pm}$ dependen de la dimensionalidad de los Anuncios y de la masa de la esfera..)

• Como por su notación sus "normal" de la condición de contorno en la mayor parte corresponde a la configuración de $\beta(x)$ (el coeficiente de $r^{\Delta_{-}}$) a cero en el límite y "normal" de la condición de frontera es el establecimiento $\alpha(x)$ (el coeficiente de $r^{\Delta_{+}}$) a cero.

  ¿Cómo es esto compatible con el hecho de que en el uso de los regulares de la condición de límite el doble CFT necesariamente debe tener un término de la forma $\int d^d x \beta(x)O(x)$ donde $O$ tiene dimensión $\Delta_{+}$$\alpha = \langle O \rangle$?

  Pensé que ellos mismos dijeron que en el escenario de la $\beta$ es a $0$ en el límite - entonces, ¿qué es esto $\beta(x)$ que se presenta en el límite de la acción?

• A continuación ecuación 3.19 argumentan que cuando la doble traza de la deformación de la frontera CFT se apaga es ver a los "irregulares" escenario y cuando se volvió hacia el infinito que está viendo los regulares escenario.

  Pero ¿cómo se puede argumentar que la regular escenario es el de IR de punto fijo y la irregular situación es la UV punto fijo del límite CFT? Dónde está ese argumento?

• El replanteamiento de la sección 4 de este documento de una manera diferente - Supongamos que uno quiere calcular el determinante de la mayor parte de la teoría de $det(-\nabla^2 + m^2)$ tomando el producto de los autovalores. Uno quiere decir calcular el determinante cuando la mayor parte ha sido cuantificada con el $\Delta_{+}$ condiciones de frontera. (...uno puede presumiblemente a hacer la misma pregunta con $\Delta_{-}$ así..)

  Si la masa es $AdS_{d+1}$ a continuación, se puede ver que el pequeño-r asymptotics ($r=0$ es la de los Anuncios de límite en la de Poincaré parche) de los armónicos son de la forma, $# r^{a} + # r^{b}$ para algunos valores de $a$ $b$ (que dependen de la autovalor y $d$).

  Ahora sabiendo el por encima de las pequeñas-r asymptotics de los armónicos ¿cómo elegir cuál de estos va a contribuir a la anterior determinante con decir el $\Delta_{+}$ condición de frontera? Alguien puede esbozar esquemáticamente cómo el cálculo parece?

Answer 1

Una posible sugerencia :

De las siguientes ecuaciones $2.5 \to 2.7$), podemos definir las semillas de la transformada de Fourier de la $2$-función de punto - para los casos límite ($f=0, f = +\infty$) :

$$G_{\pm}(k) \sim \int d^dk ~e^{ik.x} \frac{1}{x^{2 \Delta_\pm}}$$

Tenemos entonces : $G_{\pm}(k) \sim ~ k^{\pm2\nu}$ donde $\nu > 0$

Vemos, que en la UV, el kernel $G^+$ diverge, por lo que no es relevante en la UV, pero converge en el IR. De la misma manera, en el IR, el kernel $G^-$ diverge, por lo que no es relevante para el IR, pero converge en el UV, por lo que parecería natural asociado a la conformación de la dimensión $\Delta^-$ ($f=0$), con la UV y la conformación de la dimensión $\Delta^+$($f=+\infty$) con el IR.

Tendríamos una RG flujo que comienza con $f=0$ en la UV, para terminar en $f=+\infty$ en el IR

Por último, una lista de los términos empleados en el papel, que no siempre son claras:

$$\begin {matrix} UV & IR \\ f=0 & f=+\infty\\ "irregular" quantization & "regular" quantization\\ \Delta^- & \Delta^+\\ "irregular" boundary\, value & "regular" boundary \, value\\ \alpha = source & \beta = source\\ \beta = \langle O\rangle & \alpha = \langle O\rangle\\ \gamma = - \Delta^- &\gamma= + \infty\\ \end{de la matriz}$$