Equilibrio de una cuerda colgada en un espacio-tiempo de Schwarzschild

Question

Actualización: Trimok y MBN me ayudó a resolver la mayoría de los de mi confusión. Sin embargo, todavía hay un plazo adicional $-(2/r)T$ en el resultado final. Brown no escribir este término, y parece físicamente mal.

Actualización #2:la Posible resolución de los problemas pendientes. Véase el comentario sobre MBN la respuesta.

Supongamos que tenemos una cuerda colgada de forma estática en un espacio-tiempo de Schwarzschild. Tiene masa constante por unidad de longitud $\mu$, y queremos encontrar la variación de la tensión de $T$. Brown 2012 da un poco más general, el tratamiento de esta, que estoy teniendo problemas para entender. Recapitulando Brown ecuaciones (3)-(5) y especializada a esta situación, tengo en coordenadas de Schwarzschild $(t,r,\theta,\phi)$, con la firma de $-+++$, la métrica

$$ ds^2=-f^2 dt^2+f^{-2}dr^2+... \qquad , \text{ where} f=(1-2M/r)^{1/2} $$

y el estrés-tensor de energía

$$ T^\kappa_\nu=(4\pi r^2)^{-1}\operatorname{diag}(-\mu,-T,0,0) \qquad .$$

Él dice que la ecuación de equilibrio es:

$$ \nabla_\kappa T^\kappa_r=0 $$

Luego dice, que si la manivela de la matemática, la ecuación de equilibrio se convierte en algo que en mi caso especial es equivalente a

$$ T'+(f'/f)(T-\mu)=0 \qquad ,$$

donde los números primos son derivados con respecto a $r$. Esto tiene sentido porque en el plano espacio-tiempo, $f'=0$, e $T$ es una constante. El límite Newtoniano también tiene sentido, porque la $f'$ es el campo gravitacional, y $T-\mu\rightarrow -\mu$.

Hay al menos dos cosas que no entiendo aquí.

En primer lugar, no es su ecuación de equilibrio simplemente una declaración de conservación de la energía-impulso, que sería válida independientemente de que la cuerda estaba en equilibrio?

Segundo, no entiendo cómo es que él tiene la última ecuación diferencial para $T$. Desde la parte superior a la inferior del índice de estrés de la energía tensor diagonal, el único término en la ecuación de equilibrio es $\nabla_r T^r_r=0$, lo que significa que $\mu$ no puede entrar. También, si puedo escribir la derivada covariante en términos de la derivada parcial y símbolos de Christoffel (la que corresponda de ser $\Gamma^r_{rr}=-m/r(r-2m)$), los dos de Christoffel-símbolo términos cancelar, lo puedo conseguir

$$ \nabla_r T^r_r = \partial _r T^r_r + \Gamma^r_{rr} T^r_r - \Gamma^r_{rr} T^r_r \qquad , $$

que no impliquen $f$ y es evidentemente falso, si lo puse igual a 0.

¿Qué estoy malentendido aquí?

Referencias

Brown, "Resistencia a la tensión y la Minería de los Agujeros Negros" http://arxiv.org/abs/1207.3342

Answer 1

De eso usted tiene $\nabla_r T^r_r=T'$, pero también hay

$\nabla_t T^t_r=\frac{\partial}{\partial t}T^t_r+\Gamma^t_{\alpha t}T^\alpha_r-\Gamma^\alpha_{r t}T^t_\alpha=\Gamma^t_{r t}T^r_r-\Gamma^t_{r t}T^t_t=-\Gamma^t_{rt}(T-\mu)$.

Por lo tanto

$\nabla_k T^k_r=\nabla_rT^r_r+\nabla_tT^t_r=-T'-(f'/f)(T-\mu).$

Esto debe ser un comentario, pero los símbolos no.

Mi conjetura es que se llama ecuación de equilibrio porque el T es la energía de tensión de la cuerda, no una energía de tensión que afecta a la geometría del tiempo espacio. El fondo es fija y la cuerda vive en él.