Cuando tenemos la inicial y de valor en la frontera problema $$u_{tt}(x,t)-c^2u_{xx}(x,t)=0, x>0, t>0 \\ u(0,t)=0 \\ u(x,0)=f(x), x \geq 0 \\ u_t(x,0)=g(x), x \geq 0$$
podemos aplicar Verde del teorema o tiene que soportar que $x \in \mathbb{R}$ a usarlo??
Porque en mis notas que tome la extensión impar y no sé por qué...
Podría usted explicar a mí?
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EDITAR:
En mis notas que hacerlo como se indica a continuación:
$$w_{tt}-c^2w_{xx}=0, x \in \mathbb{R}, t>0 \\ w(x,0)=f_{\text{odd}}(x), x \in \mathbb{R} \\ w_t(x,0)=g_{\text{odd}} (x), x \in \mathbb{R}$$
$$w(x,t)=\frac{1}{2}(f_{\text{odd}}(x-ct)+f_{\text{odd}}(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g_{\text{odd}}(s)ds \\ w(0,t)=\frac{1}{2}(f_{\text{odd}}(-ct)+f_{\text{odd}}(ct))+\frac{1}{2c}\int_{-ct}^{ct}g_{\text{odd}}(s)ds=0$$
Así, por $x>0, t>0$
$$u(x,t)=w(x,t)=\frac{1}{2}(f_{\text{odd}}(x-ct)+f_{\text{odd}}(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g_{\text{odd}}(s)ds$$
$$u(x,t)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}{(f(x-ct)+f(x+ct))+\frac{1}{2c}{\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds, \ \ x-ct \geq 0}}\\ \\ \frac{1}{2}(-f(ct-x)+f(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{ct-x}^{x+ct}g(s)ds \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{de la matriz}\right.$$
¿Por qué hemos tomado la extraña extensión aunque se resuelve $u$ e no $w$ ??
