Buscando una función $g(x)$ tal que $g(2x+2) = g(x) + 2x+2$

Question

Así que hace poco me aburrí en clase de matemáticas (estoy en décimo curso) y me inventé una pequeña ecuación que era más o menos así:
$$g(f(x)) = g(x) + f(x) $$ Mi objetivo original era encontrar diferentes $g(x)$ para cumplir esta ecuación para $f(x) = 2x, 2x+1$ y $2x+2$ . Encontré soluciones para los dos primeros casos, pero el tercero me sigue ocultando sus secretos y me está quitando el sueño poco a poco.
Así que si alguno de vosotros por ahí que tenga algún conocimiento real sobre el tema (lo intenté y pregunté a mi profesor de matemáticas y ni siquiera sabía una respuesta para $f(x) = 2x+1$ ) podría resolver cómo encontrar una adaptación $g(x)$ por favor, dímelo. (Puede que haya una forma general de resolver para cualquier f dado $(x)$ ?)
Intenté probar que un polinomio de algún tipo podría resolver la ecuación, pero me detuve en el tercer grado porque simplemente era demasiado trabajo escribir todas las fórmulas y no sé cómo manejar todos esos programas matemáticos terriblemente profesionales como Octave, etc. (Tengo 15 años)

Espero algunas respuestas informativas.

Edición: Ya he obtenido algunas ideas realmente útiles aquí, pero todavía no sé por qué mi solución original para $f(x)=2x+1$ no era correcto. Así que, si alguien pudiera darme una pista, se lo agradecería mucho. Así es como he llegado a este punto:
Supuse que la función era como $f(x)=$ $(ax^2+bx+c) \over (x+1)$ porque descubrí que $g(x)$ no tenía ningún valor en $x=-1$ . Con sólo poner esta función en nuestra ecuación inicial, obtenemos $${a(2x+1)^2+b(2x+1)+c \over x+1}={ax^2+bx+c \over x+1}+2x+1,$$ después de simplificar $$3ax^2+4ax+a+bx+b=2x^2+3x+1$$ Ahora podemos ver que $a$ y $b$ tienen que ser soluciones a las tres ecuaciones siguientes para que sean parámetros válidos para nuestra función $g$ : $$1: 3a = 2$$ $$2: 4a+b = 3$$ $$3: a+b = 1$$
Al elaborar las soluciones, uno encontrará fácilmente $a$ para ser $2 \over 3$ y $b$ para ser $1 \over 3$ por lo que nuestra función $g(x)$ se define como ${{2 \over 3}x^2+{1 \over 3}x}\over x+1$ .
Para la prueba, simplemente ponemos esta función en nuestro problema inicial de nuevo: $${{2 \over 3}(2x+1)^2+{1 \over 3}(2x+1) \over x+1} = {{2 \over 3}x^2+{1 \over 3}x \over x+1} + 2x+1.$$ Multiplicar con $x+1$ (pero aún teniendo en cuenta que $x=-1$ puede que nunca se mantenga), obtenemos: $${2 \over 3}(2x+1)^2+{1 \over 3}(2x+1) = {2 \over 3}x^2+{1 \over 3}x + (2x+1)(x+1)$$ $${2 \over 3}(4x^2+4x+1)+{1 \over 3}(2x+1) = {2 \over 3}x^2+{1 \over 3}x + 2x^2+3x+1$$ $${8 \over 3}x^2+{8 \over 3}x+{2 \over 3}+{2 \over 3}x+{1 \over 3} = {2 \over 3}x^2+{1 \over 3}x+2x^2+3x+1$$ $${8 \over 3}x^2+{10 \over 3}x+1 = {8 \over 3}x^2+{10 \over 3}x+1, $$ que es válida para todos los $x \in \Bbb R \ | \ x \neq -1$ .
Realmente no sé dónde está mi error, y estoy muy agradecido por cada pieza de ayuda.

Answer 1

Así que, empecemos con $g(2x+2)=g(x)+2x+2$ . Sospecho que la razón por la que el $f(x)=2x$ caso fue más fácil porque los argumentos de cada uno de los $g$ eran similares, veamos si podemos hacer lo mismo aquí, ajustando el $x$ a $x+a$ y comparando:

$$g(2x+2a+2)=g(x+a)+2x+2a+2$$

Si elegimos $a=-2$ Esto resuelve $2a+2=a$ lo que significa que el $g$ los términos serán $g(2x-2)$ y $g(x-2)$ respectivamente. Esto es una buena noticia, porque hemos hecho que los términos de la ecuación se parezcan un poco más entre sí. De hecho, si introducimos la notación $h(x)=g(x-2)$ en nuestra ecuación, obtenemos:

$$h(2x)=h(x)+2x-2$$

y este es un poco más parecido al primer caso que resolviste. Ahora, con las ecuaciones de recurrencia en general (donde las funciones se definen en términos de otros valores de la función, a grandes rasgos), una forma común de aproximación es tratar de empujar su recurrencia en la forma $F(x+1)=F(x)+h(x)$ para algunos $F$ y $h$ . La razón por la que esto es tan popular es porque nos permite hacer uso de sumas telescópicas que facilitan la visualización de las recursiones de forma similar a las sumas. Por ahora, tratemos de poner nuestra recurrencia en una forma que implique sólo $x$ y $x+1$ como entradas.

Ahora, tal y como están las cosas, los argumentos de (entradas a) $g$ son $x,2x$ lo que significa que en lugar de añadir $1$ entre los pasos de la computación, estamos multiplicando por $2$ . Esto podría sugerirnos que consideremos las potencias de 2. En efecto, sustituyendo $x$ por $2^x$ en nuestra recurrencia para $h$ obtenemos:

$$h(2^{x+1})=h(2^x)+2^{x+1}-2$$

¡Ahora, esto es mejor! Vemos un $x+1$ por un lado, y un $x$ en el otro, que es lo que pretendíamos. Llamémosle $j(x)=h(2^x)$ para hacerse cargo de esto, y aterrizamos en:

$$j(x+1)=j(x)+2^{x+1}-2$$

Esto es bueno, porque nos permite pasar de $x$ a $x+1$ , lo que significa que si conocemos 1 valor de $j$ ¡conocemos una infinidad de ellos! Observa:

$$j(x+2)=j(x+1)+(2^{x+2}-2)=j(x)+(2^{x+1}-2)+(2^{x+2}-2)$$

Si seguimos con esto, llegamos a (para los enteros $n$ ), que:

$$j(x+n)=(2^{x+1}-2)+(2^{x+2}-2)+...+(2^{x+n}-2)+j(x)$$

Si te has encontrado con serie geométrica se dará cuenta de que podemos colapsar cada una de estas sumas:

$$2^{x+1}+2^{x+2}+...+2^{x+n}=2^{x+n+1}-2^{x+1}$$

$$(-2)+(-2)+...+(-2)=-2n$$

Así, tenemos la recurrencia de que $j(x+n)=j(x)+(2^{x+n+1}-2^{x+1})-2n$ . Escribir $y=x+n$ esto da que para cualquier $x,y$ que $j(y)=j(x)+2^{y+1}-2^{x+1}-2(y-x)$ siempre que la diferencia entre $x,y$ es un número entero.

Esto es bueno, porque cada una de las variables sólo aparece en términos no mixtos - es decir, no hay $xy,x/y$ términos ni nada por el estilo. Así que podemos aislarlos como:

$$j(y)-2^{y+1}+2y=j(x)-2^{x+1}+2x$$

La clave aquí es que esto se mantiene siempre que la diferencia entre $x,y$ es cualquier cosa por lo que podemos decir que es constante .

[n.b. técnicamente dice que es una constante + una función 1-periódica, pero lo pasaremos por alto por ahora]

Por lo tanto, ahora podríamos decir que $j(x)=2^{x+1}-2x+C$ , donde $C$ es una constante. Hagamos ahora el largo viaje de vuelta a $g(x)$ :

$j(x)=2^{x+1}-2x+C \implies h(2^x)=2^{x+1}-2x+C \implies h(x)=2x-2\log_2{x}+C$

$$ h(x)=2x-2\log_2{x}+C \implies g(x-2)=2x-2\log_2{x}+C$$

$$\implies g(x)=2x+4-2\log_2(x+2)+C=2x-2\log_2(x+2)+C'$$

señalando que $C$ podría haber sido cualquier constante, de donde $C+4=C'$ es una constante cualquiera.

[para los que siguen la pista, nuestra solución completa es $g(x)=2x-2\log_2(x+2)+p(\log_2(x+2))$ , donde $p$ es cualquier función 1-periódica]

Así que, ¡tenemos una solución general! Tiene el inconveniente de que, debido a la naturaleza de los logaritmos, tenemos que especificar nuestro dominio como $\{x \vert x>-1\}$ , por lo que cualquier cosa que tomemos el logaritmo es positiva. Pero, por lo demás, tenemos una bonita función continua que satisface la ecuación funcional que deseamos. Esperemos que esto también nos indique cómo podemos abordar el caso general de $f(x)=2x+b$ o incluso $f(x)=ax+b$ .

Answer 2

Con $h(x)=g(x-n)$ ,

$$g(2x+n)=g(x)+2x+n$$ se convierte en $$h(2(x+n))=h(x+n)+2x+n.$$

Configuración $x+n=:2^t$ esto da

$$h(2^{t+1})=h(2^t)+2^{t+1}-n,$$

que es una recurrencia ordinaria

$$l(t+1)=l(t)+2^{t+1}-n.$$

Por suma, una solución general es

$$l(t)=2^{t+1}-nt+C,$$ correspondiente a $$h(x+n)=2(x+n)-n\log_2(x+n)+C=g(x).$$

Como se puede comprobar,

$$g(2x+n)=4(x+n)-n\log_2(2(x+n))+C=\\ g(x)+2x+n=2(x+n)-n\log_2(x+n)+C+2x+n.$$

Y tenemos

$$\begin{align}0\to& g(x)=2x+C\\ 1\to& g(x)=2(x+1)-\log_2(x+1)+C\\ 2\to& g(x)=2(x+2)-2\log_2(x+2)+C.\end{align}$$

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En realidad, como la recurrencia relaciona valores de $t$ una unidad aparte, $C$ puede definirse como cualquier función sobre $t\in(0,1]$ es decir $x\in(1-n,2-n]$ .