Problema de aritmética modular (mod $22$)

Question

$$\large29^{2013^{2014}} - 3^{2013^{2014}}\pmod{22}$$

Estoy practicando para mi examen y lo puedo solucionar casi todo problema, pero este tipo de problema es muy difícil para mí. En este caso, tengo que calcular esto por modulo $22$.

Answer 1

Este número es, obviamente, aún así vamos a mirar modulo $11$ :

$$29^{2013^{2014}}-3^{2013^{2014}} \equiv 7^{2013^{2014}}-3^{2013^{2014}} \pmod{11}$$

Ahora mira a los poderes $7^x$ modulo $11$ y aviso : $$7^{10} \equiv 1 \pmod{11}$$ (esto se deduce también de Fermat poco teorema )

Así que tenemos que ver el $2013^{2014} \pmod{10}$ .

Utilice el mismo método de $3^4 \equiv 1 \pmod{10}$ así :

$$2013^{2014} \equiv 3^{2014} \equiv 3^{2012} \cdot 3^2 \equiv 1 \cdot 9 \equiv 9 \pmod{10}$$ Ponerlos juntos :

$$7^{2013^{2014}} \equiv 7^9 \equiv 7^{-1} \equiv 8 \pmod{11}$$

Se puede proceder de manera similar para el otro término debido a $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ :

$$3^{2013^{2014}} \equiv 3^9 \equiv 3^{-1} \equiv 4 \pmod{11}$$

Esto significa que :

$$29^{2013^{2014}}-3^{2013^{2014}} \equiv 8-4 \equiv 4 \pmod{11}$$

Este número es aún tan modulo $22$ :

$$29^{2013^{2014}}-3^{2013^{2014}} \equiv 4 \pmod{22}$$

Answer 2

$$29\equiv-4\implies29^{2013^{2014}}\equiv-(2^{\cdot2013^{2014}})^2$$

Otra vez $3\equiv-8\pmod{11},8=-2^3$

$$\implies3^{2013^{2014}}\equiv-(2^{2013^{2014}})^3$$

Ahora $2^5\equiv-1\pmod{11}\implies2^{10}\equiv1$

y $2013\equiv3\pmod{10},2014\equiv2\pmod{\phi(10)}$

$\implies2013^{2014}\equiv3^2\pmod{10}\equiv-1$

$\implies2^{ 2013^{2014}}\equiv2^{-1}\pmod{11}\equiv6$

$\implies29^{2013^{2014}}-3^{2013^{2014}}\equiv-6^2+6^3=36(6-1)\equiv4\pmod{11}$

y $29^{2013^{2014}}-3^{2013^{2014}}\equiv0\pmod2\equiv4$

$\implies29^{2013^{2014}}-3^{2013^{2014}}\equiv4\pmod{\text{lvm}(11,2)}$

Answer 3

pequeño Teorema de Fermat (y Teorema de euler) es tu amigo.

22 es coprimo a 29% que $29^{\phi(22)} = 29^ {10} \equiv 1 \mod 22$. Así $29^{2013^{2014}} \equiv 29^k \mod 22$ donde $2013^{2014} \equiv k \mod 10$.

Como 10 y 2013 primer co $2013^{\phi (10)} = 2013^4 \equiv 1 \mod 10$ % que $2013^{2014} \equiv 2013^2 \equiv 3^2 \equiv -1 \mod 10$.

Así $29^{2013^{2014}} \equiv 29^{-1} \equiv 7^{-1} \mod 22$

Como 22 es coprimo a 3, en el exacto mismo razonamiento $3^{2013^{2014}} \equiv 3^{-1} \mod 22$.

Así $29^{2013^{2014}} - 3^{2013^{2014}} \equiv 7^{-1} - 3^{-1} \equiv a \mod 22$.

Ahora $21a \equiv -a \equiv (7^{-1} - 3^{-1})7*3 \equiv 3 - 7 \equiv -4 \mod 22$.

Así $29^{2013^{2014}} - 3^{2013^{2014}} \equiv a \equiv 4 \mod 22$.